17.2 Другие условия закрепления
Рассмотрим случай консольной балки:
Рис. 17.7
Б
удем
пользоваться геометрической аналогией.
Эта задача аналогична приведенной ниже:
Рис. 17.8
Правая её половина точно такая же, как балка, рассматриваемая на рис.17.7, следовательно:
.
Рассмотрим теперь случай защемления с двух концов:
Рис. 17.9
Здесь только половина балки (её средняя часть) изгибается как шарнирная (см. рис.17.10):
Рис. 17.10
Таким образом:
.
Введем параметр n – число волн, которые образуются при продольном изгибе балки, тогда получим:
.
Пользуясь этой аналогией, получим еще одну (приближенную) формулу для случая, изображенного на рис. 17.11:
.
Рис. 17.11
В расчетной практике
вместо n
используют - коэффициент
приведенной длины
:
.
Запишем формулу Эйлера с помощью нового обозначения:
. (17.10)
Кроме того, в теории устойчивости вводят параметр:
. (17.11)
Здесь
- безразмерная величина, являющаяся
относительной
длиной,
называется гибкостью.
Для корня
вводят специальное обозначение:
. (17.12)
Аналогично,
. (17.13)
Величины
- называются радиусами
инерции
сечения.
В новых обозначениях получим:
. (17.14)
Это наиболее употребительный вид формулы Эйлера.
17.3 Предельная гибкость. Длинный стержень
Рассмотрим условие применимости формулы Эйлера (17.9):
.
Подставим сюда
(17.14): 
.
Отсюда: 
.
Или: 
.
Обозначим правую часть через:
.
Таким образом, формула Эйлера применима, если:
То есть, если условная длина достаточно большая, то формула Эйлера применима. Поэтому такие стержни называют длинными.
17.4 Формула Ясинского
Он изучил более
2000 экспериментов и показал, что если
,
то
можно вычислять по формуле:
Это и есть формула Ясинского.
Здесь a и b константы материала. Например, для стали:
Кроме того, для стали предел текучести
.
Из формулы Ясинского видно, что если очень мал, то
.
Это означает, что для изгиба стержня-образца требуется больше усилий, чем для того, чтобы сплющить этот образец. Поэтому формула Ясинского справедлива только тогда, когда:
Это условие применимости формулы Ясинского.
Отсюда
,
или
.
Если
,
то этот стержень называют стержнем
средней
длины.
Если же:
,
то стержень называют коротким:
17.5 Продольный изгиб
Снова рассмотрим изгиб балки под действием продольной центральной силы Р, но предварительно изогнутой приложенными по концам сосредоточенными моментами m (см. рис. 17.12). Этот момент может быть вызван внецентренным нагружением продольной силой Р, если он имеет эксцентриситет е. Тогда m=Ре.
Рис. 17.12
Уравнение изогнутой оси (17.1) примет вид
.
Деля
на
и принимая уже использованное выше
обозначение
,
решение этого уравнения запишем в виде
.
Как и при выводе формулы Эйлера, константы В и С отыскиваем из условий закрепления:
(1): на левом краю
(2): на правом краю
Это дает:
(1):
на левом краю
(2):
на правом краю
Отсюда
(1):
(2):
При Р=Ркр
,то
есть при
,
имеем
.
Тогда из выражения для В вытекает, что
.
Следовательно, при Р→Ркр получаем неограниченно большие прогибы:
.
Таким образом, при внецентренном сжатии (или при наличии предварительного изгиба) балка может выдержать продольную сжимающую силу, которая не может быть больше Ркр.