16.2.4. Балки на упругом основании. Закон Винклера
Рассмотрим основание (грунт) Приложим к мерному стержню силу Р (рис.16.14), тогда осадка стержня , будет тем больше, чем больше сила Р.
Рис.16.14
Запишем это утверждение аналитически:
.
Здесь - называется коэффициентом постели. Эта зависимость называется законом Винклера.
Согласно III-му закону Ньютона реакция грунта R=P. Приведем закон к виду, когда задаётся погонная сила q (cм. рис.16.15).
Рис.16.15
Ее равнодействующая должна быть равна Р, т.е.
;
Отсюда
;
.
Обозначая
получим
. (16.15)
Погонную реакцию грунта будем обозначать через r (см. рис 16.14).
Тогда:
. (16.16)
16.4. Уравнение изогнутой оси балки на упругом основании
Рассмотрим балку, которая лежит на грунте.
Рис.16.16
Такой моделью описывается поведение ленточных фундаментов, дорожных полотен, обшивок трехслойных панелей типа сэндвич.
Грунт противодействует
внешним силам некоторой погонной силой
.
Выразим ее через прогиб
.
Для этого вырежем малый элемент (см.
рис.16.16). Сравнивая рис.16.14 и рис.16.16 видим,
что элемент балки, фактически представляет
собой мерный стержень, для которого
реакция определяется по формуле (16.16),
т.е. реакция балки с прогибом связана
соотношением:
.
Далее запишем уравнения равновесия элемента балки и уравнение ее изогнутой оси
. (16.17)
. (16.18)
. (16.19)
Из рис.16.16 видно,
что на балку действует две погонные
силы:
и
.
Тогда получим:
. (16.20)
Здесь знак «-»
перед
поставлен потому, что осадка v
элемента имеет отрицательный знак, а
реакция должна быть противоположна
погонной силе
.
Подставим (16.18) в (16.20):
.
Подставляя сюда (16.19) получаем искомое уравнение:
. (16.21)
Решение запишем в виде суммы:
.
Простой подстановкой в (16.21) можно проверить, что решение имеет вид:
.
(16.22)
Здесь 
.
Частное
решение находим,
подставляя
=
B
в уравнение (16.21):
.
Остальные константы получают из геометрических соображений (условий закрепления) и условий статики на концах балки.
16.5. Бесконечная балка на упругом основании
Этой моделью можно
описать, например, поведение дорожного
полотна с автомобилем веса Р.
Погонная сила
представляет собой погонный вес полотна.
Мы можем общее решение представить как
сумму решения 2-х задач: задачи о действии
только силы веса qвеса
и задачи о действии только силы Р.
Здесь
соответствует случаю когда, действует
лишь qвеса.
Прогиб
,
который содержит,
,
соответствует случаю
,
.
Рассмотрим этот случай. Пусть s
– расстояние от силы Р
до сечения. Слева и справа прогиб
симметричный, поэтому исследуем прогиб
v
только справа, то есть, найдем функцию
v(s).
Рис.16.17
Для отыскания
учтем, что прогиб должен быть ограничен
при любых s.
Однако первые 2 слагаемых не ограничены,
т.к.
при
.
Отсюда вытекает,
что должно быть
.
Хотя для анализа решения можно и не искать С3, С4, найдем их для иллюстрации того, как находится выражение для прогиба.
В силу симметричности
задачи под силой должно быть
.
По теореме Ферма имеем соотношение:
.
Подставляя сюда (16.22) получаем:
.
(16.23)
Отсюда:
. (16.24)
Следующее уравнение
относительно
получим из статических соображений.
Виду симметричности задачи реакция
основания справа (см. рис 16.18) известна:
.
Рис.16.18
Как видно из рис.16.18, в сечении под силой (при s = 0) согласно определению поперечной силы:
. (16.24)
Из уравнения (16.18) получим:
. (16.25)
Подставляя s = 0 находим из (16.24):
.
Отсюда: 
.
Итак:
.
Анализ решения.
Изобразим графически полученные решения. Если нет силы Р, то согласно решению балка оседает как жесткое тело на величину (см.рис. 16.19).
Рис.16.19 Рис.16.20
Если есть только
сила
,
то осадка имеет волнообразный, но
затухающий характер, как это изображено
на рис. 16.20. Видно, что при отсутствии
силы веса под действием только силы Р
некоторые
области балки приподнимаются над нулевым
уровнем грунта.
Балка не будет
приподниматься над первоначальным
уровнем (т.е.
будет отрицательным) только тогда,
когда:
.
Суммарная осадка балки для этого случая изображена на рис.16.21.
Рис.16.21
Практические выводы из решения. Для того чтобы фундамент или дорожное полотно, не отрывались от грунта под действием сосредоточенной силы необходимо, чтобы погонный вес фундамента или полотна был достаточно большой. Это означает, что толщина фундамента или дорожного полотна должна быть достаточно велика.