16.1. Формула Мора для вычисления прогиба
П
усть
необходимо найти прогиб точки В,
т.е. перемещение
vB.(рис.16.2)
Рис. 16.2
Для решения задачи
применим закон сохранения энергии в
варианте принципа
возможных перемещений.
В качестве возможных выберем прогиб
(здесь и далее величины, характеризующие
основную задачу, т.е задачу об изгибе
балки под действием рабочих нагрузок,
будут снабжаться индексом q).
Рассмотрим далее фиктивную задачу (рис.16.3)
Рис. 16.3
Вычислим работу
силы
на перемещении
:
.
Согласно закону сохранения энергии эта работа должна равняться работе внутренних сил, вызванных силой Т, на перемещениях, вызванных рабочими нагрузками. Подсчитаем её, обозначив через W.
Рассмотрим рис.16.2
и рис.16.3. Выделим малый элемент балки
(он зачернен на рис 16.2 и рис.16.3). Он
удлиняется на величину
.
Рис. 16.4
Рассмотрим этот
же малый элемент под действием напряжений
растяжения
(здесь
и далее величины, характеризующие
фиктивную задачу, будут снабжаться
индексом Т),
которые возникают, под действием силы
Т.
Вычислим
- работу этих напряжений на перемещении
:
.
Согласно определению:
.
Таким образом,
.
Работа по удлинению всех элементов балки будет:
.
По формуле Навье имеем:
.
По закону Гука:
.
Отсюда:
.
Запишем закон сохранения энергии:
.
Отсюда вытекает формула Мора:
. (16.2)
Перечислим использованные обозначения.
- искомый прогиб
в точке B
(от рабочих нагрузок);
=1 – единичная сила, приложенная в интересующем нас направлении искомого прогиба в интересующей нас точке В.
- изгибающий момент
в фиктивной задаче о приложении к балке
силы Т
в точке В.
- изгибающий момент
от рабочих нагрузок.
Еще раз напомним, что физический смысл формулы Мора заключается в том, что работа силы Т на искомом перемещении vВ равна работе внутренних сил, вызванных этой силой, на деформациях от внешних сил.
Примечания.
1. Для удобства вычислении обычно принимают, что Т=1.
2. Работой касательных напряжений обычно пренебрегают ввиду ее малости по сравнению с W.
3
.
При необходимости вычисления угла
наклона балки α
вместо единичной фиктивной силы Т
необходимо прикладывать единичный
момент m=1
в интересующей
нас точке.
Формула Мора
примет вид
.
16.1.1 Методы вычисления интегралов. Формулы трапеций и Симпсона
Для приближенного вычисления интегралов существует много разных методов. Пусть надо найти:
Для вычисления интеграла Мора часто используют метод Верещагина. Однако более удобными являются приближенные методы.
Рис. 16.5
Формула трапеций
Разобьем интервал
на малые интервалы (например, на рис.16.5.
их четыре). Поскольку по геометрическому
смыслу интеграл представляет собой
площадь фигуры mnkl,
то С
можно вычислить приближенно, представив
ее в виде суммы площадей четырех трапеций:
.
(16.3)
Формула Симпсона
Формула Симпсона намного точнее формулы трапеций (хотя может показаться менее удобной). Она имеет вид:
.
(16.4)
При этом в отличие
от метода трапеций, отрезок а
должен разбиваться на равные интервалы
.
Аналогично, должно быть
Примечание. Для прикидочных грубых оценок можно использовать формулу:
.
Вычисление прогибов на основе решения дифференциального уравнения изогнутой оси балки
Прогибы можно находить и другими способами, например, на основе решения дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Для вывода этого уравнения, рассмотрим элемент балки (рис.16.6).
Рис. 16.6
Ясно,
что чем больше
,
тем больше кривизна
изогнутой оси балки.
Эту фразу можно записать в виде:
.
(16.5)
Выразим кривизну через прогиб. Согласно формулам математического анализа:
.
Рис.16.7
По геометрическому смыслу производная - это тангенс угла наклона кривой (рис16.7):
.
Ввиду малости угла можно записать:
.
Тогда:
.
(16.6)
Очевидно, что k зависит от геометрии сечения и материала балки. Найдем эту зависимость.
Рассмотрим малый элемент балки длины (рис. 16.8). После изгиба он превратится в изогнутый элемент. Длина волокна BC, которое проходит через центр тяжести сечения, не изменяется и будет равна . Нижнее волокно DH удлиняется на величину, которое обозначим через .
Рис.16.8
Вычисляем
,
учитывая, что
.
Согласно определению
.
Используя закон Гука и формулу Навье получаем
. (16.7)
Вычислим
теперь по другому - через угол
(рис.16.8). Из геометрии известна формула
для вычисления длины дуги:
.
Тогда
. (16.8)
Приравниваем (16.7) и (16.8):
.
Отсюда получаем:
.
Учитываем, что согласно (16.6):
Окончательно получаем:
|
(16.9) |
Это и есть уравнение изогнутой оси балки.