12.1. Энергетическая теория

Применительно к задачам сопротивления материалов можно использовать более простой способ вывода соотношения четвертой теории прочности, вновь используя то, что в сопротивлении материалов рассматриваются напряженные состояния брусьев, которые испытывают воздействие лишь двух напряжений: σ_z , τ_zy.. Приведем ее формулировку без привлечения гипотезы о предельном значении энергии сдвига (которая была использована в разделе 11.5.4). С учетом того, что IV теория справедлива лишь для материалов с равными пределами прочности на растяжение и сжатие, как было оговорено выше, используем обозначение .

Сформулируем четвертую теорию следующим образом: при наличии касательных напряжений τ_zy для разрушения малого элемента тела нормальным напряжением σ_z требуется меньшее значение σ_z , чем предел прочности .

Это утверждение в четвертой теории в отличие от теории Мора записывается так, чтобы на эту запись не влиял знак σ_z, а именно, в виде:

. (12.6)

Как показали эксперименты, коэффициент k = 3.

Обычно в курсах сопротивления материалов четвертую теорию представляют следующим образом:

. (12.7)

Предельная кривая, построенная по соотношению (12.6), примет вид изображенного на рис.12.1 эллипса, центр которого находится в начале координат.

Примечания.

1. Для материалов с равными пределами прочности на растяжение и сжатие имеет место небольшое отличие четвертой теории от теории Мора (которая вырождается в третью теорию). Расчеты с использованием критерия (12.2) дают «запас прочности» порядка 15% .

2. Анализ четвертой теории показывает, что из (12.7) вытекает следующее значение для τ_прочн (при σ_z = 0, τ_z = τ_прочн ) :

τ_прочн =

Из теории Мора (третьей теории) на основании формулы (11.12) вытекает

τ_прочн =

Разница между значениями для τ_прочн по разным теориям также около 15%.

13. Расчет цилиндрической оболочки под воздействием внутреннего давления

Рассмотрим применение теорий прочности при расчете цилиндрической оболочки.

Рис 13.1	Рис 13.2	Рис 13.3

Пусть известны средний радиус оболочки R (в силу тонкостенности оболочки обычно работают со средним радиусом R), толщина стенки h, давление р внутри трубы.

В отличие от простого растяжения элементы стенки испытывают и продольное, и окружное растяжение.

Вырежем диск ширины b (pис.13.1). На него действует давление р. Рассечем диск на 2 части. Нижняя часть воздействует на верхнюю давлением р и растягивает стенки трубы усилием N (pис. 13.3).

Из уравнений равновесия вытекает:

Рассмотрим теперь часть оболочки, которая находится справа от второго сечения (pис 12.4).

Рис 13.4

На него слева в горизонтальном направлении действует давление p и сила N₂. Уравнение равновесия примет вид:

Отсюда

Видно, что окружные напряжения в два раза больше, чем продольные.

Пусть материал равнопрочный, т.е

= σ^*

Согласно I, III и V теориям прочности при наличии растягивающих напряжений условия того, что разрушения не произойдет, имеют вид:

Или

Отсюда находим давление, которое может выдержать цилиндрическая оболочка:

.

Рассмотрим теперь IV теорию. Получим давление, которое может выдержать материал оболочки согласно этой теории:

Видно, что IV теория даёт предельное давление, которое может выдержать оболочка, в = 1.155 раза большее, чем давление, которое дают I,III и V теории. Таким образом, IV теория позволяет «экономить» материал приблизительно на 15%.