12. О выборе теорий прочности при анализе брусьев

12.1. Критерий Мора

В сопротивлении материалов рассматриваются элементы конструкций в виде брусьев, испытывающих изгиб, кручение, растяжение или сжатие. В этом случае в них возникают лишь два существенных напряжения σ_z , τ_zy . Как отмечено выше в разделе 11.3, тогда можно сразу записать выражения для главных напряжений, изображенных на рис.11.11. При этом видно, что одно из них положительно, а другое – отрицательно:

. (12.1)

Следовательно, в задачах сопротивления материалов для малого элемента стержня в главных осях имеет место растяжение при поперечном сжатии. Как было уже сказано, для подавляющего большинства строительных материалов первая теория не применима в случае напряженных состояний «растяжение при поперечном сжатии». Аналогично, вторая теория также плохо коррелирует с экспериментом, особенно для материалов с разными пределами прочности на растяжение и сжатие. Третья теория является частным случаем теории Мора. К тому же она справедлива только для материалов с равными пределами прочности на растяжение и сжатие, а для таких материалов эксперименты лучше подтверждают четвертую теорию. Пятая теория (критерий Мора), отметим еще раз, достаточно хорошо коррелирует с экспериментальными данными для большинства строительных материалов, имеющих разные пределы прочности на растяжение и сжатие

Таким образом, в задачах сопротивления материалов (в задачах о расчете брусьев на прочность) наиболее удачной является теория разрушения Мора в виде

.

После подстановки сюда соотношений (12.1) получим критерий Мора в компонентах напряжений σ_z , τ_zy в виде:

(12.2)

В системе координат σ_z, τ_zy предельная кривая представляет собой эллипс со сдвинутым центром (см. рис 12.1).

Рис 12.1

Из критерия Мора (12.2) легко получить значение для предела прочности на сдвиг τ_прочн. Для этого положим, что на элемент тела действуют только касательные напряжения. Подставляя σ_z = 0, τ_zy = τ_прочн в (12.2) получим:

(12.3)

Тогда критерий Мора (12.2) можно переписать в виде:

, (12.4)

где

(12.5)

Механический смысл соотношения (12.4) заключается в следующем. Пусть на малый элемент действует растягивающее напряжение σ_z >0. Если приложить напряжение τ_zy и начать его увеличивать, то разрушение элемента начнется при значении касательного напряжения τ_zy, которое меньше τ_прочн, а именно, при (так же как в грунтах). Малые сжимающие напряжения σ_z <0, напротив, немного увеличивает сопротивляемость сдвигу (опять таки, как в грунтах). Но большие сжимающие напряжения все же уменьшают сопротивляемость сдвигу.

Примечание. Соотношение (12.4) можно принять за гипотезу критерия Мора. Тогда для определения констант n, m нужно рассмотреть два случая разрушения: при простом растяжении (т.е. при σ_z= , τ_zy= 0) и при простом сжатии (т.е. при σ_z= , τ_zy= 0). После подстановки этих напряжений в критерий Мора (12.4) получим относительно n, m два уравнения, из которых получатся те же соотношения (12.5).