10.2. Формула Мора для стержневых систем

Для отдельного стержня при растяжении имеем:

Тогда

Если система содержит несколько стержней, то можно просуммировать работы каждого стержня. Согласно закону Гука:

В результате формулу Мора можно записать в виде:

- усилия растяжения стержней, которые возникают от действия единичной силы.

- удлинения стержней, которые появляются под действием силы Р.

Пример: рассмотрим систему, приведенную на рис. 10.5. Найдем сначала .

Ранее усилия растяжения при действии силы Р уже были получены.

Рис.10.5

Решим теперь задачу о единичной силе (рис.10.6)

Рис.10.6

Из уравнений равновесия правой части стержневой системы находим - усилия растяжения стержней, которые возникают от действия единичной силы.

Найдем удлинения

Подставим в формулу Мора:

.

Направление перемещения мы угадали, так как имеет знак “+”.

Найдем . Для этого рассмотрим 3-ю задачу о действии единичной силы Т=1 (см. рис.10.7).

Получим:

Как и в задаче о вычислении имеем:

Таким образом:

Из решения видно, что и горизонтальное, и вертикальное перемещения сильно возрастают при уменьшении угла α .

11. Закономерности разрушения материала

11.1. Закономерности сложного напряженного состояния

а) Напряжения на косых площадках при продольном нагружении.

Рассмотрим простое растяжение стержня (рис.11.1)..

Рис.11.1 Рис.11.2

Вырежем элемент под углом (рис.11.2). Выразим через  (известный закон параллелограмма, справедливый для сил, для напряжений не применим).

Рассмотрим рис.11.3. Так как призма находится в покое, то .

Рис.11.3

Имеем:

(11.1)

По закону параллелограмма:

(11.2)

Подставляя сюда (11.1) получим:

Деля на с∙b находим:

Из рис.11.1 следует, что

Таким образом, получаем:

(11.3)

С учетом того, что  направлена по Oz, формулы запишем в виде:

.

б) Ортогональное нагружение.

Рассмотрим сжатие стержня поперек ее оси. Снова вырезаем призму, изображенную на рис.11.4:

Рис.11.4.

Если рассматриваемый угол заменить углом , то выкладки будут совершенно аналогичными. Тогда получим:

(11.4)

Согласно рисунку 11.4, напряжение должно быть направлено вверх, а не вниз как на рис.11.2. Поэтому в (11.4) в выражении для поставлен знак “-“.

11.2. Зависимость и от касательных напряжений

Вырежем из тела призму (рис.11.5). Пусть на его грани действуют напряжения . В силу закона парности:

Рис.11.5. Рис.11.6.

Выразим через

Составим уравнения равновесия:

Поделим эти два уравнения на ( ). Учитывая закон парности получим:

Складывая, получим:

(11.5)

Аналогично найдем:

(11.6)