10. Расчет стержней и стерЖневых систем на жесткость

Стержень называется жестким, если при рабочих нагрузках он деформируется в пределах нормы.

Рис.10.1

Пусть [ ] – допустимое значение удлинения, тогда должно быть:

Это соотношение называется условием жесткости.

Составные стержни

Если стержень состоит из двух и более участков, то ясно, что общее удлинение состоит из суммы удлинений каждого участка. Например, для случая, приведенного на рис.10.2.

, где .

Рис.10.2

Пример: Пусть =0.5см, Е=2000 kH. Тогда

Рис.10.3

Первый стержень удлиняется, второй укорачивается.

О бщее удлинение см. По абсолютной величине это намного меньше =0.5см. Значит колонна жесткая.

Стержневые системы

Сложнее с системами стержней. Это системы типа ферм или жестких элементов, удерживаемых стержнями с шарнирными закреплениями.

Рис.10.4

Условия жесткости для таких систем могут содержать требования ограничения, например, только вертикальных составляющих перемещений в виде:

10.1. Формула Мора для вычисления перемещения конструкции

Рассмотрим деформацию бруса:

Под действием P, точка С перейдет , а каждый малый элемент деформируется.

Рассмотри задачу отыскания перемещения . Разложим его на вертикальную и горизонтальную составляющие. Тогда:

.

Введем обозначения: - напряжения, деформации, перемещения, полученные при действии внешней силы Р .

Далее рассмотрим другую, фиктивную задачу для нашей конструкции, а именно, приложим единичную силу Т по вертикали в рассматриваемой точке С.

Здесь все малые элементы тоже получают деформации. Введем обозначения: - напряжения, деформации, перемещения, полученные при действии силы Т.

Для вычисления в точке С применим закон сохранения энергии в варианте принципа возможных перемещений,. В качестве возможных выберем перемещения . Вычислим работу силы Т на возможном перемещении :

.

Эта работа согласно закону сохранения должна быть равна работе , которую совершают силы сопротивления (напряжения ) на возможных удлинениях малых элементов (возможных абсолютных деформациях малых элементов). Подсчитаем ее.

Рассмотрим малый элемент. Сила его растяжения - будет:

.

Согласно определению удлинение малого элемента будет:

.

Подсчитываем работу, которую совершает сила на перемещение

.

Во всем теле суммарная работа будет:

.

Запишем закон сохранения энергии: W_Т=W_Р.

Отсюда: .

Для удобства счета полагают Т=1, тогда формула Мора принимает вид:

- искомое перемещение

- деформация, которую вызывают внешние силы Р

- напряжение, которое создано единичной силой Т

Т – единичная сила, которая приложена в интересующей нас точке и в интересующем нас направлении.

Примечание. Если после вычисления получится что , то это значит, что направление перемещения нужно выбрать в другую сторону, т.е. она направлено против направления действия силы Т=1.