9.6.2. Условие независимости напряжений от времени в конструкциях из вязкоупругих материалов

Отметим следующий интересный факт. Оказывается, если материалы, из которых изготовлены конструкции, обладают линейно-вязко-упругими свойствами, причем они имеют коэффициенты вязкости, пропорциональные жесткостям этих материалов, то напряжения в конструкции не изменятся с течением времени (то есть релаксации не происходит, а происходит только деформация конструкции).

Проверим это на примере железобетонной колонны.

Примем, как и ранее: Сделаем сечение. На него сверху действуют силы и

Согласно правила знаков:

(9.17)

Условие совместности деформации:

Полная деформация состоит из упругой части и деформации ползучести:

=

Возьмем производную по времени:

Согласно закону ползучести имеем:

Таким образом:

Подставим в (9.18) и получим:

(9.19)

Выразим напряжения через силу P.

Из уравнения равновесия:

Подставим в (9.19). Учитывая, что получим:

(9.20)

Запишем начальные условия для .

При t=0 деформаций ползучести еще нет , то есть задача чисто упругая, следовательно, из предыдущих лекций можно записать решение:

t=0: . (9.21)

В теории линейных дифференциальных уравнений существует теорема: если найдено решение уравнения, которое удовлетворяет всем начальным условиям, то оно единственное.

Проверим, не является ли решением нашего уравнения (9.20). Подставим в (9.20) и получим, что:

(9.22)

Примем, как говорилось выше, что вязкость стали, так же как и модуль упругости, в 5 раз больше вязкости бетона:

.

Подставляя в (9.22) получим

Подставив сюда , получаем тождество

Это говорит о том, что является решением дифференциального уравнения, следовательно, оно единственное. Таким образом, в арматуре напряжение не изменится со временем, следовательно, и в бетоне не будет релаксации (это следует из. (9.17)).

Что и требовалось показать.

9.7 Теория накопления микроповреждений

В любом теле существуют микротрещины и микропоры. Под нагрузкой c течением времени эти микротрещины возрастают в размерах.

Через некоторое время их размеры достигают критических величин, после чего начинается неудержимый рост трещины, и разделение тела на части.

На основе анализа экспериментов были выявлены законы развития микротрещин (см. в монографии Работнова Ю.Н. [3]). Эта теория позволяет определить время, в течение которого конструкция выдерживает внешнюю нагрузку без разрушения. Это время назем критическим временем.

Рассмотрим трещину, длины Пусть - приращение трещины, - длина микротрещины при котором начинается неудержимый её рост .

Введем параметр поврежденности:

1) В начальный момент времени (при ) в теле , тогда:

(9.23)

2) В момент разрушения при получим , значит:

(9.24)

Здесь (9.23) – начальное условие, (9.24) – условие разрушения.

Закон подрастания трещины, предложенный Работновым Ю.Н., можно представить в виде:

(9.25)

Здесь точка означает дифференцирование по времени, - механические характеристики материала.

Процедура вычисления состоит из следующих этапов:

1. Определяется напряжение в конструкции в каком-то сечении

2. После подстановки в закон (9.25) решается дифференциальное уравнение (9.25).

3. Из начального условия (9.23) находятся константы интегрирования.

4. Из условия прочности (9.24) находится критическое время .

Рассмотрим примеры.

Пример №1: Задача о бетонной колонне

Найдем напряжение:

.

Пусть известен закон (9.7.3) и пусть В=0.01см²/( kHлет), n=1. Тогда:

/лет.

Отсюда получаем: /лет.

Слева и справа одинаковые функции, значит и первообразные от них равны, или отличаются на константу.

/лет (9.26)

Константу С найдем из начального условия (9.23):

(9.27)

Теперь (9.26) примет вид

.

Найдем критическое время t* для колонны (ее долговечность) из условия (9.24). Подставляя в (9.27) получаем:

/лет

Отсюда t*=125 лет (т.е., колонна не разрушаясь простоит 125 лет).

Пример №2:

Задача о накоплении повреждений в железобетонной колонне с учетом ползучести.

С течением времени ввиду релаксации (отдыха) бетона все большую часть нагрузки начинает воспринимать арматура.

То есть, напряжения в бетоне стремятся к нулю. Таким образом, если не учесть накопления повреждений, то напряжение в бетоне уменьшается и его разрушение никогда не наступит.

Однако, это не так. Решим задачу о разрушении колонны в результате накопления повреждений.

Ранее было найдено: .

Перепишем в новых обозначениях:

,

где

.

Закон (9.25) примет теперь вид:

.

Получили обыкновенное дифференциальное уравнение, которое легко решается

Пусть В=0.01см²/(тлет), n=1.

Тогда получим:

.

Легко проверить, что решение этого уравнения можно записать в виде:

.

Константу с находим из начального условия при t = 0:

В момент разрушения . Из этого условия находим уравнение для t*:

Логарифмируя обе части, получим:

.

Если < 0, то логарифма не существует. Это значит, что не существует t* , то есть, бетон успеет отрелаксировать и не разрушиться. Если > 0 , то можно найти критическое время t*, по достижении которого произойдет разрушение колонны.