9.2. Особенности температурных и монтажных напряжений
9.2.1. Независимость температурных напряжений от размеров тела
Для простоты анализа рассмотрим задачу о закрепленном с двух концов брусе, хотя выводы справедливы для любых конструкций при некоторых оговорках.
Дано:
Найти:
(индексом «Т» зашифровано слово
«температурное»)
Найти R
из уравнения равновесия не удается,
поэтому используем геометрическое
условие:
.
Отсюда находим температурное напряжение:
Следствия.
Чем больше жесткость материала (Е), тем больше температурное напряжение .
Температурное напряжение не зависит ни от длины стержня, ни от формы сечения, ни от ее площади.
9.2.2. Независимость монтажных напряжений от размеров тела
Пусть стержень
сделан длиннее на
см.
И в этой задаче найти R из уравнений равновесия не удается, поэтому используем геометрическое условие:
.
Аналогично
предыдущей задаче получаем отсюда
.
Окончательно
.
Введем относительную
неточность изготовления:
.
Т
огда
Следствие:
1) Чем больше Е,
тем больше монтажное напряжение
.
2) Если неточность
задавать в относительных величинах
,
то монтажное напряжение
не зависит ни от формы, ни от площади
сечения, ни от длины, а зависит только
от материала (т.е. от Е)
и относительной неточности изготовления
.
9.2.3. О температурных и монтажных напряжениях в статически определимых системах
Если произойдет перепад температуры, то в конструкции возникнут удлинения элементов.
Но если нет лишних связей, (то есть задача статически определима), то температурные и монтажные напряжения не возникают.
Например, рассмотрим конструкцию, изготовленную из двух стержней:
Если ее нагреть, то она деформируется. Покажем, что нет напряжений. Сделаем сечение и запишем уравнения равновесия для верхней части:
Получили, что напряжения равны нулю в обоих стержнях.
9.3. Независимость предельной нагрузки от самоуравновешенных начальных напряжений
Рассмотрим
статически неопределимую, например,
стержневую систему. Пусть имеется и
перепад температур, и неточности
изготовления, т.е. известны
.
Из рисунка видно, что неограниченная деформация системы начнется тогда, когда потекут оба стержня, то есть при:
Запишем уравнения равновесия после введения реакций и сил растяжения стержней:
.
Подставляем
в это уравнения в предельном состоянии:
Следствия:
От монтажных и температурных напряжений F* не зависит
Кроме того, можно видеть, что
F* не зависит от длин стержней;
F* не зависит также от жесткости стержней.
9.4. Некоторые особенности деформирования стержней при растяжении и сжатии с учетом силы тяжести
Рассмотрим тяжелый стержень (т.е. учитывается собственный вес).
П
усть
- плотность материала. Сделаем сечение
на расстоянии s
от свободного
конца (см. рис.9.3)
Усилие сжатия на сечение будет:
Тогда
Итак:
.
Рис. 9.3
Следствие: напряжение, возникающее под действием силы тяжести, не зависит от площади и формы сечения, а зависит только от положения сечения и материала.
Рассмотрим теперь задачу вычисления осадки колонны. Вырежем на некотором расстоянии s элемент длины ds.
|
|
Рис. 9.4
Подсчитаем его укорочение по закону Гука:
.
Суммируя укорочения всех таких элементов, получим полное укорочение стержня длины l. Это будет сумма бесконечно малых величин, то есть интеграл:
.
Итак,
Следствие: деформация стержня под действием собственного веса не зависит от размеров и формы сечения стержня.