Изгиб пластины под сосредоточенными силами

Координаты точек приложения сил будем считать известными.

Имеем уравнение равновесия:

Заменим Р равномерной нагрузкой q, которая распределена по бесконечно малой площадке.

Из условия эквивалентности получаем , в остальных точках q=0:

Подставим в задачу Бубнова-Галеркина:

В правой части q=0 везде кроме этой микроплощадки, получаем:

Таким образом правая часть в случае сосредоточенных сил сразу вычисляется, без интегрирования.

Пластина на упругом основании

Сопротивление грунта обозначим реакцией r(x,y), как видим, к внешней нагрузке добавляется реакция r, поэтому уравнение равновесия принимает вид:

Закон для определения r в простейшем случае имеет вид:

r =-kw – закон Винклера

где k – коэффициент постели

В случае шарнирного опирания w можно искать в виде:

A_ij наиболее удобно находить методом Бубнова-Галеркина

Примечание: как и в случае с балкой, если вес плиты не достаточен по отношению к сосредоточенной силе, плита может приподниматься над грунтом, что непозволительно для дорожных полотен или площадок (посадочных, парковочных).

Задача Фламана

Это расчетная схема давления на грунт ленточного фундамента:

Из математики известно, что в линейной системе уравнений решение единственно.

Анализ решения:

1. при приближении к точкам приложения силы P

Это означает, что вблизи точек приложения силы P использовать решение для расчета на прочность грунта бессмысленно, поэтому решение используется, только для расчета задачи о сдвиге массивов грунта по линиям скольжения(линиям осыпания, потери сцепления).

2. это решение можно использовать для определения поля напряжений при воздействии распределенной нагрузки q(x).

Использование решения задачи Фламана в задаче о действии внешнего давления

Дано: q(x)

Найти:

Возьмем площадку dx и от распределенной нагрузки перейдем к сосредоточенной силе dP=q•dx, получаем задачу Фламана.

Для силы dP решение у нас есть:

Такие же решения получим для других отрезков dx, расположенных в других метах. Общее воздействия получим суммируя напряжения от различных dP.

Пример:

В этом случае бесконечных напряжений под нагрузкой не возникает, поэтому при расчете ленточных фундаментов сосредоточенную силу заменяют нагрузкой q более близкой к реальному распределенному давлению в основании.

Осесимметричные задачи теории упругости

Они возникают при расчете тел вращения . для упрощения задачи переходят к полярной системе координат:

Подставляя вместо производных по х, у производные по ,  с помощью этого соотношения получим новые системы уравнений в полярной системе координат. В случае осесимметричных задач состояние тела не зависит от угла . То есть производные по =0 , поэтому все уравнения сильно упрощаются. В системе координат х, у была введена функция Эри, через которые вычисляются напряжения:

Аналогичную функцию можно ввести в полярной системе координат:

При этом уравнение равновесия внутреннего элемента будут удовлетворяться, остается удовлетворить уравнения равновесия граничных элементов и условия совместности деформаций. Последние принимают вид:

, где

Общее решение этого уравнения можно найти в справочниках.

Самую большую трудность в теории упругости всегда составляет удовлетворение уравнений равновесия элементов на границе и условий закрепления, но для ряда задач удается получить точное решение.