57. Точные методы исследования устойчивости и автоколебаний в нелинейных системах. Частотный метод в.М. Попова.

Пусть дана НСАУ. Нелинейность которой – однозначная нелинейность, расположенная в Гурвицовом угле

– будем считать устойчивой.

Все корни левые, либо содержится не более двух нулевых корней.

Теорема Попова

Для установления абсолютной устойчивости ИСАУ достаточно подобрать такое конечное действительное число k, при котором для всех соотношение выполнялось

При наличии одного нулевого корня дополнительно, а этому требуется еще, это

При двух нулевых корнях, чтобы действительная часть стремилась при малых ω.

K – угол Гурвица.

Графические интерпретация

Возьмем модифицированную АФХ линейной части

Если , т.е. порядок соотношение таково

Выражение (*) преобразуем, чтобы получилась

Возьмем – это прямая.

Угол наклона -

Для установления устойчивости НСАУ достаточно подобрать такую прямую Попова (ЗИ) на плоскости W*(jω), проходящую через точку , чтобы вся модифицированная АФХ линейной части системы лежала справа от этой прямой.

В случаях в) и г) нет абсолютной устойчивости, т.е. в Гурвицовом угле не для всех нелинейностей система устойчива.

58. Методы аппроксимации кривых разгона объекта.

Имея экспериментально снятую кривую разгона, можно вычислить функцию объекта регулирования. Простейший из них основан на аппроксимации переходной функции объекта некоторой кривой, вид передаточной функции которой известен.

Рассмотрим типовую кривую разгона объекта с самовыравниванием (рис2.5.). Проведем к ней через точку перегиба касательную и обозначим отрезок, отсекаемый касательной на оси абсцисс, буквой , а отрезок от точки пересечения касательной с линией нового установившегося состояния до буквой Т, как это показано на рис. 2.5. Тогда кривую разгона можно приближенно заменить экспонентой (рис.2.7) с постоянной времени Т чистым запаздыванием и установившимся значением y_уст, равным установившемуся значению кривой разгона. Передаточную функцию такой экспоненты

(2.10), где - коэффициент усиления объекта, приближенно можно считать передаточной функцией объекта регулирования, имеющего кривую разгона (2.5.)

Для приближенной аппроксимации кривой разгона объекта без самовыравнивания (рис.2.5) к кривой разгона проводится касательная. Отрезок , отсекаемый касательной на оси абсцисс обозначается (рис.2.6). Угол наклона касательной определится из формулы

(2.11)

Тогда кривую разгона объекта без самовыравнивания можно примерно заменить прямой (рис. 2.6), имеющей с осью абсцисс угол наклона и отсекающей на оси абсцисс отрезок . Этой прямой соответствует передаточная функция

которую приближенно можно считать передаточной функцией объекта регулирования без самовыравнивания.

Аппроксимация кривых разгона передаточными функциями более высокого порядка (метод Шварца)

Более точное совпадение кривой разгона и аппроксимирующей кривой дает способ, предложенный Г. Шварцем Рассматривается несколько вариантов, аппроксимации. Первый случай – объект с самовыравниванием. Передаточная функция представляется в виде

(2.13)

Т.е. модель объекта составляется из n одинаковых апериодических звеньев, соединенных последовательно. Значения коэффициентов усиления К объекта, постоянной времени Т и показателя степени n определяется с помощью графиков (рис.2.9)

Для этого берется кривая разгона, приведенная к единичному возмущению. Проводится касательная к ней в точке перегиба и отмечаются отрезки (рис.2.9, а), а также определяется коэффициент усиления К. Далее на графике (рис.2.9,б) по известному отношению кривой разгона находится показатель степени n. Затем по графику (рис.2.9) определяется отношение и вычисляется постоянная времени Т.

В другом варианте передаточная функция объекта с самовыравниванием представляется в виде:

, где В – постоянный коэффициент. По кривой разгона определяются величины в соответствии с рис. 2.10, а. Далее воспользовавшись графиками (рис. 2.10,б и 2.10,в), находят значение в , а затем постоянную времени Т. Коэффициент усиления К, в предположении, что кривая разгона снята при единичном возмущении, определяется непосредственно по кривой разгона.

Передаточную функцию объекта без самовыравнивания можно представить в виде:

(2.15)

Значения величин Т, n находятся по графикам (рис.2.11, б и 2.11, в). Для этого следует по кривой разгона предварительно найти вспомогательные величины . Коэффициент К усиления объекта при единичном скачкообразном возмущении определится как угла (рис.2.11, а) наклона касательной к оси абсцисс.

Другой разновидностью приближенной передаточной функции объекта без самовыравнивания является

(2.16)

Постоянная времени и коэффициент В в этом случае определяется по графикам (рис.2.12, а, б)

Если исследуемый объект регулирования обладает дифференцирующими свойствами и кривая разгона имеет вид (рис.2.13,а), его передаточная функция может быть приближенно представлена выражением:

(2.17)

Значения вспомогательных величин , а также b, c, T находятся с помощью графиков (рис. 2.13б,в,г).

Определение передаточных функций объектов регулирования по кривым разгона методом площадей.

В ряде случаев точность представления передаточной функции, определяемой приближенными методами, оказывается недостаточной. Более точный способ вычисления передаточных функций по экспериментально снятым кривым разгона был предложен М.П. Симою и получил название метода площадей. Теоретически этот метод может дать любую точность. Но реально эта точность не может быть выше точности исходной информации, т.е. точности экспериментального определения кривой разгона.

Рассмотрим кривую разгона изучаемого объекта (рис.2.14).

Обозначим звездочкой входные Х и выходные Y величины, записанные в размерном виде, и представим кривую разгона в безразмерной форме, приняв обозначения:

(2.18)

Где - выходная величина в безразмерной форме, а - входная безразмерная величина. Прочерк в квадратных скобках – символ размерности – означает, что данная величина представлена в безразмерной форме. Перестроенная кривая разгона приведена на рис.2.15.