7. Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1. Определить индукцию магнитного поля в центре проволочной квадратной рамки со сто-роной а, если в рамке течет ток I.

Дано: Решение

^{а, I} ₂ 180^o −₁

В = ? ₂

J

₁

a

r

B

В = 4В₁

₁ ^{0 I} cos₁ −cos₂ 4_2

^{B 4} ^I ^2cos1

²

ЗАДАЧА 2. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между ко-торыми d, текут токи I₁ и I₂ в противоположных направлениях. Определите магнитную индукцию В в точке А, удаленной на расстоянии r₁ от первого и r₂ от второго проводника.

37

Дано: Решение

I₁, I₂, d,

B₂

в = 180є – B

 ^r2

1

r

r

r



,

B

1



2

r

1

r

В

2

В

В

1

r r

2





1 2



2

2 2 2

2

1

1

1

2

R

2

p

m

r₁

B

I₂

I₁ d _r1, r₂

B = ?

₀I₁ ¹ 2r

_{B2 }₀I_{2 . B B B2.} 2

Результирующую магнитную индукцию найдем по теореме косинусов: ^{В } 1² 2^{2 2В} 2 ^{cos, cos12 r 2 −d2 ,}

1 2

_{B }_{0 } I₁² _I₂² _−I₁I_{2 r 2 r 2 −d2 .}

r r r r

ЗАДАЧА 3. Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка с магнитным моментом p_m 1,5Aм² равна 150 А/м. Определите: 1) радиус витка; 2) силу тока в витке.

Дано: Решение

Н = 150 А/м p_m 1,5 А·м²

H ^I ; p_m I S IR² H I2R³,

R = ?

I = ?

откуда R ³ _{H I 2}11,710⁻² м,

I H 2R 35,1 А.

ЗАДАЧА 4. Бесконечно длинный провод образует круговую петлю, касательную к проводу. По прово-ду идет ток силой I. Найти радиус петли, если известно, что напряженность магнитного поля в центре пет-ли равна Н.

Дано: Решение

H, I _I

R = ?

0

R

I

38

По принципу суперпозиции полей:

H H₁ H₂ ^I ₂^I ^{I }1^{1 }^I 0,66 A/м ,

откуда R ^{I 0,66}.

ЗАДАЧА 5. Между полюсами магнита на двух тонких нитях подвешен горизонтально линейный про-водник весом Р = 0,1 Н и длиной l = 0,2 м. Напряженность однородного магнитного поля Н 210⁵ А/м и направлена вертикально. Весь проводник находится в магнитном поле. На какой угол от вертикали от-клонятся нити, поддерживающие проводник, если по нему пропустить ток I = 2 A? Весом нитей пренеб-речь.

Дано: Решение









R



2

2

R

R

R





H

r

r

T

A

F

A

Р

Р

r

r

В

Р = 0,1 Н l = 0,2 м

Н 210⁵ А/м

^{I = 2 A} F_A

= ?

T 

I

Сила Ампера F_A BI l

^B p

Условие равновесия проводника:

r_{FA P 0,} т. е.

T sinF , T cosР,

или

_{tg Р }BI l _₀HI l _1, тогда

45^o.

ЗАДАЧА 6. -частица, момент импульса которой L 1,3310⁻²² кг м²/с, влетает в однородное маг-

нитное поле, перпендикулярное скорости ее движения. Индукция магнитного поля равна 2,510⁻² Тл. Най-ти кинетическую энергию -частицы.

Дано: Решение

L 1,3310⁻²² кгм² /с B 2,510⁻² Тл

B v

^q v

F_л

q 3,210⁻¹⁹ Кл _r m 6,6410⁻²⁷ кг

Е_К = ?

На заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца, которая выполняет роль центрост-ремительной силы:

39

_{Bqv }mv² _,

откуда

_{R }mv_.

L mvR mv_Bq _Bq mv²,

mv² ^LBq ,

следовательно,

mv² LBq 1,3310⁻²² 2,510⁻² 3,210^{−19 k} 2 m2 _6,6410⁻²⁷ _2

0,810⁻¹⁶ Дж 500эВ.

ЗАДАЧА 7. Тонкий медный провод массой m = 1 г согнут в виде квадрата, и концы его замкнуты. Квад-рат помещен в однородное магнитное поле (В = 0,1 Тл) так, что плоскость его перпендикулярна линиям ин-дукции поля. Определить количество электричества, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию.

R

Bq

m

mv

m





 

E

1

dt



i

dt

dq

Ф

d

d

Ф

1

,

Ф

R

1

1

1

1

R

m

S

1

S

S

2





S

B

Bm

m

1

1





4

S

a

1

1

Дано:

m 10⁻³ кг В 0,1Тл,

8600кг/м³

1,710⁻⁸ Омм

q = ?

Решение

Согласно закону Фарадея для электро-магнитной индукции:

_i −^dФ.

По закону Ома для полной цепи I _R , где I ^dq,

_dt R −_dt , dq −_R _dt . (1)

Выражение (1) проинтегрируем:

q −¹ ₂ −Ф₁

где Ф₂ 0, Ф ВS.

q ^BS , m V 4aS ,

где S₁ – площадь поперечного сечения проводника; а – сторона квадрата; r₁ – плотность меди; V – объем проводника.

a _{4 1} . Сопротивление

R ^l ^4a ,

1 1

где r – удельное сопротивление.

q ^Ba₄^S ^BaS _{4}¹_41 _{16}42,710⁻³ Кл.

40

ЗАДАЧА 8. В однородное магнитное поле напряженностью Н помещена квадратная рамка со стороной а. Плоскость рамки составляет с направлением магнитного поля угол . Определить магнитный поток, пронизывающий рамку.

Дано: Решение

Н, а,  ^{r – нормаль к рамке.} H Магнитный поток

n

n

r

1

dF



х

2





rl

I I

I I

dх

−

7

F

1

2

2

х

r

Ф = ?

 _r

Ф BS cos,

где

B ₀H, S = a², тогда

Ф ₀а²Н cos.

ЗАДАЧА 9. Металлический стержень длиной 15 см расположен перпендикулярно бесконечно длинно-му прямому проводнику, по которому течет ток силой 2 А. Найти силу, действующую на стержень со сто-роны магнитного поля, создаваемого проводом, если по стержню течет ток силой 0,5 А, а расстояние от провода до ближайшего конца стержня 5 см.

Дано: Решение

I₁ = 0,5 A I₂ = 2 A

r = 0,05 м

F₁ = ?

I₂

B_{2 B2}

r ^C

dF

_dх I_{1 D}

х

Разобьем проводник СD на малые элементы длиной dх, находящиеся на произвольном расстоянии х. По закону Ампера на каждый элемент dх действует сила ₁ I₁B₂ dх, где

_{B2 }₀I_{2 .}

Полная сила

rl rl

1 ^^{dF  0 2 1}  ^{ 0 2 1 ln 2,810 H.} r r

ЗАДАЧА 10. На графике изображена зависимость магнитного потока, пронизывающего катушку, от времени. Построить график зависимости ЭДС индукции от времени.

Ф

⁰ t₁ t₂ t

41

Решение

Ф

^t₁ t₂ ^t

_i

0 _t

На участке ot_t ^∆Ф 0, то _i 0; на участке t₁t₂ ^∆Ф 0, то _i 0.

ЗАДАЧА 11. В вертикальном однородном магнитном поле с индукцией В вращается в горизонтальной плоскости стержень длиной l с постоянной угловой скоростью . Ось вращения проходит через конец стержня. Определить в стержне ЭДС индукции.

∆

t

∆

t

Ф

∆

t

t



2

2

2





1

W

.

,

W

2

2

I

1

2

W

2

2

−

I

2

Дано:

B, l, 

_i ?

Решение

_i −^∆_t ^{BS N} ,

где N – число полных оборотов.

^N – частота вращения; = 2pn.

_i ^{Bl2 }^Bl2 .

ЗАДАЧА 12. Определить индуктивность длинного соленоида, в котором при увеличении тока от I₁ = 4 А до I₂ = 6 А энергия магнитного поля увеличивается на ∆W = 10 мДж.

Дано:

I₁ = 4 A I₂ = 6 A

∆W = 10^–2 Дж

L = ?

Решение

Энергия магнитного поля внутри соле-ноида с индуктивностью L определяется по формуле:

LI² LI₂ ¹ 2 ² 2

По условию задачи

откуда

∆W W₂ −W ^L ₂ −I₁ ,

L ^2∆_I1 10⁻³ Гн.

42

ЗАДАЧА 13. Однослойная катушка диаметром D = 5 см помещена в однородное магнитное поле, па-

^{раллельное ее оси. Индукция поля равномерно изменяется со скоростью} ∆t ^{10−2 Тл/с. Катушка содер-}жит n = 1 000 витков медной проволоки 1,7510⁻⁸Омм сечением S₀ = 0,2 мм².

1. К концам катушки подключен конденсатор емкостью 10 мкФ. Определить заряд на нем.

2. Концы катушки замкнуты накоротко. Определить тепловую мощность, выделяющуюся в катушке.

∆

B

 

∆

t

∆

∆

t

t

4

∆

4

t

2

R

∆

4

t

S

3

nS

D





∆

t





Дано: ∆B _{10−2 Тл/с}

S₀ 0,210⁻⁶ м²

Решение

Заряд конденсатора q C_i, но

_i ^∆Ф n ^{∆BS n},

1,7510⁻⁸ Омм

D = 0,05 м С 10⁻⁵ Ф

n 1000

где S – площадь сечения катушки, рав-_ная D² _.

q C ^∆B ^D2 n 1,9510⁻⁷ Кл.

q = ? Р = ?

_{Тепловая мощность Р, выделяемая в катушке, равна P }_{i .}

Здесь _i ^∆B ^D2 n, а R ^l n. Следовательно 0

P ^{∆B2} ^_16⁰ 2,810⁻⁵ Вт.

43