6. Электромагнетизм

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ Основные ПОСТОЯННОГО ТОКА ФОРМУЛЫ

1. Закон Био–Савара–Лапласа

^r ^0dI r ^I ,

r

где dB– магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с током; – магнитная проницае-

мость; ₀ – магнитная постоянная ₀ 4р10⁻⁷ Гн/м; _dI – вектор, равный по модулю длине dl проводника и совпадающий с током (элемент проводника); I – сила тока; r – радиус-вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, магнитная индукция в которой определяется.





r

r

dB



3

4

r

r

м

r

r

В

r

2

4

r

r

r

r r

r

r



B

2

R



r

2



.

1

4

r

r

j₁

0 I

_r j

^B I

j

^r0 r

j₂

a б Рис. 1

Модуль вектора dB выражается формулой

dB ^0^{I sin}dl,

где – угол между векторами dI и r.

2. Магнитная индукция B связана с напряженностью Н магнитного поля соотношением

B ₀H,

или в вакууме _{r r}

_{0 0}H.

3. Магнитная индукция в центре кругового проводника с током B ^0^I ,

где R – радиус кривизны проводника.

4. Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током,

B ^0^I , 0

где r₀ – расстояние от оси проводника.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника

B ^0^I cos−cos₂ 0

Обозначения ясны из рис. 1, а. Вектор индукции В перпендикулярен плоскости чертежа, направлен к нам и поэтому изображен точкой.

При симметричном расположении концов проводника относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис. 1, б), – cos ₂ = cos ₁ = cos и, следовательно,

33

B ^0^I cos. 0

5. Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в средней его части (или тороида на его оси), B ₀nI,

где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; I – сила тока в одном витке.

6. Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция В результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций В , В₂,...,В_n складываемых полей, т. е.

r ⁿ r

B .

iВ частном случае наложения двух полей

B B B ,

а абсолютное значение вектора магнитной индукции

B  _{1 2} 2B ₂ cos,

где – угол между векторами В и В₂.

СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ Основные НА ПРОВОДНИК С ТОКОМ ФОРМУЛЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

1. Закон Ампера. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле,

_r F [lB]I,

где I – сила тока; l – вектор, равный по модулю длине l проводника и совпадающий по направлению с то-ком; В – магнитная индукция поля.

Модуль вектора F определяется выражением

F BIlsin,

r

где – угол между векторами l и B.

2. Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных проводников с токами I₁ и I₂, находящихся на расстоянии d друг от друга, рассчитанная на отрезок проводника длиной l, выражается формулой

F ^0^I1I2 l.

3. Магнитный момент контура с током

_r ^r_m IS,

где S – вектор, равный по модулю площади S, охватываемой контуром, и совпадающий по направлению с нормалью к его плоскости.

4. Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное по-ле,

M [p_mB].

Модуль механического момента

М p_mBsin, _{где – угол между векторами} r_{m и B.}

34

2

r

r

r r r

1



B

i

1

r

r

r

2

1

2

2

B

B

B

1

r

r

1

r

r r

r

r

r





2

d

r

р

r r

r

r

p

СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ Основные НА ЗАРЯД, ДВИЖУЩИЙСЯ ФОРМУЛЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Сила F , действующая на заряд, движущийся со скоростью ^r в магнитном поле с индукцией ^r (си-ла Лоренца), выражается формулой

F Q[vB], или F Q v Bsin,

где – угол, образованный вектором скорости ^r движения частицы и вектором ^r индукции магнитного поля.

ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА. МАГНИТНЫЙ Основные ПОТОК. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ ФОРМУЛЫ

1. Закон полного тока для тока проводимости: циркуляция вектора напряженности ^r магнитного поля вдоль замкнутого контура, охватывающего ток I, выражается формулой

r

v

B

r r

r

B

v

H

Н



l i



i

r

r



Н

где H_l – проекция вектора напряженности ^r dl; I – сила тока, охватываемого контуром.

Если контур охватывает n токов, то

^Hl ^{dl J,}

на направление касательной к контуру, содержащей элемент

^{H dl n I ,}

i1

n

где I – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром. i1

2. Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S: ― в случае однородного поля

Ф BS cos, или Ф B_nS,

где – угол между вектором нормали n к плоскости контура и вектором магнитной индукции В; В_n – про-

екция вектора В на нормаль n (В_n = В cos ); ― в случае неоднородного поля

^{Ф }^Вn^dS, S

где интегрирование ведется по всей площади S.

3. Потокосцепление, т. е. полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида или то-роида,

NФ,

где Ф – магнитный поток через один виток; N – число витков соленоида или тороида; ₀ – магнитная посто-янная;

4. Магнитная проницаемость µ ферромагнетика связана с магнитной индукцией В поля в нем и на-пряженностью Н намагничивающего поля соотношением

 ^В . 0

5. Связь между магнитной индукцией В поля в ферромагнетике и напряженностью Н намагничиваю-щего поля выражается графически (см.: А. Г. Чертов, А. А. Воробьев. Задачи по физике. С. 262).

35

РАБОТА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРОВОДНИКА Основные С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. ФОРМУЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ. ИНДУКТИВНОСТЬ

1. Работа перемещения замкнутого контура с током в магнитном поле АI∆Ф,

где ∆Ф – изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром; I – сила тока в контуре.

2. Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея–Максвелла)

е_i −N _dt −_dt ,

где _i – электродвижущая сила индукции; N – число витков контура; – потокосцепление. Частные случаи применения основного закона электромагнитной индукции:

разность потенциалов U на концах проводника длиной l, движущегося со скоростью v в однородном магнитном поле,

U Blvsin ,

где – угол между направлениями векторов скорости v и магнитной индукции В; электродвижущая сила

индукции _i , возникающая в рамке, содержащей N витков, площадью S, при вращении рамки с угловой скоростью w в однородном магнитном поле с индукцией В

_i BNSsint,

где wt – мгновенное значение угла между вектором ^r и вектором нормали ^r к плоскости рамки. 3. Количество электричества Q, протекающего в контуре,

Q ^∆,

где R – сопротивление контура; ∆– изменение потокосцепления.

4. Электродвижущая сила самоиндукции _i , возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем,

_i −L ^dI , или е_i −L _∆t ,

где L – индуктивность контура.

5. Потокосцепление контура

LI,

где L – индуктивность контура.

6. Индуктивность соленоида (тороида):



d

d

Ф

r



В

n

R



∆

I

dt

2

где V – объем соленоида.

ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

L ₀n²V,

Основные

ФОРМУЛЫ

1. Энергия W магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре индуктивностью L , опреде-ляется формулой

W ¹ LI²,

где I – сила тока в контуре.

36

2. Объемная (пространственная) плотность энергии однородного магнитного поля длинного соленои-да

^0 ₂ ² ₂^В_0^BH .

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ Основные И ВОЛНЫ ФОРМУЛЫ

1. Формула Томсона. Период собственных колебаний в контуре без активного сопротивления

T 2LC,

где L – индуктивность контура; С – его электроемкость.

2. Связь длины электромагнитной волны с периодом Т и частотой n колебаний

сТ или ^с ,

где с – скорость электромагнитных волн в вакууме (с 310⁸ м/с). 3. Скорость электромагнитных волн в среде

2



Н



2



,



,

В





a







0

a





4

V 

с



где – диэлектрическая проницаемость; – магнитная проницаемость среды.