4. Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1. Три одинаковых по величине заряда q расположены в вершинах равностороннего тре-угольника. Где и какой заряд Q нужно поместить, чтобы вся система находилась в равновесии?

Дано: Решение

q₁ = q₂ = q₃ = q ^q₂

= 60є

Q = ?

–Q

F

q₁ ^q3 F₁ ^a 

F₂ F₁₂

2

₁ F _40а2 ;

_{12 1 2} 2F ₂ cosF² 3, ₁₂ F 3.

q₃ Q 4₀ r²

где r – расстояние между Q и q₃.

r ² h ² ^{a 3} ^a .

q Q3 4₀ a²

Заряд q₃ находится в равновесии при условии:

F F ,

13

E

b

b

E,

Qn

j

V

t

q

F

2

2

2

2

F

F

F

F

1

1

F

1



F

,

2

3

3

3



3

F

.

12

^{qQ3 q2 3} откуда Q ^q .

⁴ 0^{a 4} 0^a

ЗАДАЧА 2. Шарик массой m подвешен на невесомой непроводящей нити в однородном электриче-ском поле напряженностью Е, силовые линии которого горизонтальны. Какой угол с вертикалью составит нить, если шарику сообщить заряд q?

Дано: Решение



,

2

2





3

K

K

K

mg

mg

q

K

r

^{m, E, q} О _{= ?} z _

у _E

g _T l

F ^х mg

Запишем условие равновесия шарика, например, через равенство нулю моментов сил, действующих на него относительно оси Z, проходящей через точку подвеса О перпендикулярно плоскости рисунка:

mqlsinF lcos,

где l – длина нити;

F qE.

Следовательно, tg^qE ; _{arctg} ^qE _.

ЗАДАЧА 3. Небольшой шарик массой m, имеющей заряд q, вращается в горизонтальной плоскости на непроводящей нити длиной l. Определить период обращения шарика, если в центре окружности, описы-ваемой шариком при вращении, расположен точечный заряд q. При вращении нить образует с вертикалью угол .

Дано: Решение

q, , m, l

z

T = ?



T

F_K ^{q q х} mg

2

^{F }4₀r^{2 ,} где r lsin.

По второму закону Ньютона:

T sin−F_K ^mv2 ;

T cos−mg 0.

14

2 2

mg tg− ,

4 ₀l sin отсюда находим

_{V } ^lsin_{mg tg−} ^q2 _.

 ⁴ 0^{l sin} 

Следовательно, период обращения

T ^{2 r}  ^{2lsin} 

lsin^ q^{2 }

^{m } 4₀l² sin² _

 ^{2lsin} .

2 ^{gtg−}4₀ml² sin² 

ЗАДАЧА 4. Три тонкие металлические пластины, имеющие заряды q, 3q, 2q, расположены параллельно друг другу. Площадь каждой пластины S. Найти силу, действующую на среднюю пластину. Электрическое поле, созданное каждой пластиной, считать однородным.

Дано: Решение

q, 3q, 2q, S _{q 3q 2q}

E₁ F = ?

E₂

х

Сила, действующая на среднюю пластину с зарядом 3q, может определена по формуле F 3qE,

где Е – напряженность электрического поля в месте расположения данной пластины, создаваемого крайни-ми пластинами. Если q > 0, то векторы напряженности электрических полей, создаваемых ими, будут на-правлены так, как показано на рисунке.

q

m

v



2 2





l

sin





 

2 2





m



V





 −

mg

tg





q

r r



q





1

.

E

E

1



2

S

2

S

1

q

q

l l

A B C

^{1 }2₀ ^2₀S ^;

₂ 2q ² 2₀ 2₀S

Следовательно, средняя пластина будет находиться в электрическом поле напряженностью E E₂ −E  ^q и на нее будет действовать сила F 3qE ^3q2 .

0 0

ЗАДАЧА 5. Точки А, В, С и D расположены на прямой и разделены равными промежутками l. В точке А помещен заряд q 810⁻¹²Кл, в точке В – заряд

q₂ −510⁻¹²Кл. Какой заряд q₃ поместить в точку D, чтобы напряженность ^{1 2} поля в точке С была равна нулю?

q₃

l D

15

q

1

1

2

4

l

l

r

q

1

2 2 2

4

l

1

q

4

1



4

R









R

R













0





R R

R

4 4

q



N

q

3

3

Дано:

₁ 810⁻¹² Кл q₂ −510⁻¹² Кл

Е_С 0

Решение

E k ^q₂ , E₂ k ^q2 ,

так как Е₂ > Е₁, то третий заряд должен быть отрицательным.

q₃ = ? _{Е2 С Е1 Е3}

Е_С = Е₁ + Е₃ – Е₂,

0 k ¹ k ^q3 −k ^q2 или ^q q₃ q₂,

4 l l т. е.

₃ q₂ −^q 510⁻¹² −210⁻¹² 310⁻¹² Кл.

ЗАДАЧА 6. Металлический шар радиусом R₁, заряженный до потенциала , окружают концентриче-ской сферической проводящей оболочкой радиусом R₂.

Чему станет равен потенциал шара, если оболочку заземлить?

Дано: Решение , R₁, R_{2 –q}

₀ = ? _R1

_+q R₂

Потенциал сферической поверхности  ^q , откуда q 4₀R . 0 1

На поверхности шара радиусом R₂ появится индуцированный заряд –q. По принципу суперпозиции полей

^{ −q }−^{40 1} 1−¹ . 0 2 0 2 2 

ЗАДАЧА 7. Потенциал одной заряженной капли ртути равен . Каким станет потенциал при слиянии N таких капель в одну большую?

Дано: Решение

N,  ^{Потенциал маленькой капли:}

_{0 = ?} ^4₀r ^{, откуда q 40r.}

Потенциал большой капли:

^{0 }4₀R ^,

но масса большой капли M N m, т. е. ⁴R³ N ⁴r³, тогда

R r³ N.

16

₀ ^{N 40r} N ². 0

ЗАДАЧА 8. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы переместить заряд Q из точки В в точку С в поле двух точечных зарядов q₁ и q₂? Расстояния a, l, d известны.

Дано: Решение

3

3



4

r

n



,

1





0

q

2

1





0

q

1

2

1

















0

0





1 2

.







О

q

1

R

R

Q, q₁, q₂, a, l, d

q₁ q_{2 B C}

A = ? ^{d l a}

AQ _B −_C где

^{B }4^qd l^4^q2₀l ^,

^{C }4₀ d l a^4^ql a^.

Следовательно, искомая работа

^{AQ }4^qd l^4^q2₀l ^−4₀ d l a^−4^ql a^

Qa  ^{q q} 4_{0 }d ld l al l a_

ЗАДАЧА 9. Два параллельных тонких кольца радиуса r имеют общую ось. Расстояние между их цен-трами d. Найти работу А, совершаемую электрическими силами при перемещении заряда Q из центра пер-вого кольца в центр второго, если по первому кольцу равномерно распределен заряд q₁, а по второму коль-цу равномерно распределен заряд q₂.

Дано: Решение

r, q₁, q₂, Q

A = ?

_{r R} R r² х²

O ^{х A}

Разобьем кольцо на отрезки, малые по сравнению с величи-ной R. Тогда заряд ∆q_i, находящийся на каждом отрезке, можно рассматривать как точечный. Он создает в точке А потенциал ^∆q ^∆q2 ..._R. Потенциал , поля в центре первого кольца складывается из потенциала, создаваемого зарядом, находящимся на первом кольце, для которого q = q₁; х = 0, и потенциала, создаваемого зарядом, находящимся на втором кольце для которого q = q₂; х = d.

17

^q1 q₂ r r

d

Таким образом,

_{1  }q_{2 .} r² d²

Аналогично находим потенциал в центре второго кольца:

q

1

r

1

r







.





r

q q

2



,

q

4

2



4

W

2

r

K

0





q

₂ ^q2 

q _.

r² d²

Окончательно для работы получим:

A Q ₁ −₂ Qq₁ −q₂ ^1 −

¹ r² d ² _

ЗАДАЧА 10. Две материальные точки, имеющие одинаковые массы и заряженные равными по вели-чине, но противоположными по знаку зарядами, движутся по окружностям вокруг своего неподвижного центра масс. Действуют только кулоновские силы. Найти отношение потенциальной энергии к кинетиче-ской.

Решение

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов

2 2

W_P −k _2r −_{40 2r} .

Кинетическая энергия двух зарядов:

W_K 2 ^mV2 mV².

На заряды действует кулоновская сила, которая выполняет роль центростремительной силы:

q² mV² 4₀4r^{2 r}

откуда

2 mV² _{40 4r} ,

^WP −^{q2 40}_q^r −2.

ЗАДАЧА 11. Металлический шар радиусом R₁ помещен в центр тонкостенной металлической сферы радиусом R₂. Заряд шара q₁, а сферы –q_{2 1} −q₂ . Изобразить графически зависимость напряженности электрического поля Е от расстояния r до центра шара.

18

Дано: Решение

q₁, –q₂,

R₁, R_{2 –q2}

E(r) = ?

q_{1 R2} R₁

1

R

1



q

1

q



1

2



R



q







R

4



q



−

q

1

2

r

0

1



.

E

2

r ^{О n} r

K _с

E n

1. Пусть r R , то электрическое поле равно нулю, так как шар радиусом R₁ изготовлен из металла. 2. Пусть ₁ r R₂ . Проведем сферическую поверхность радиусом ОС = r и определим поток век-

тора напряженности через эту поверхность:

Ф Е 4r². (1)

По теореме Гаусса

Ф ^q . (2) 0

Сравнивая выражения (1) и (2), находим

Е _40r2 0.

Приr R

приr R₂

E  ¹ maх,^

^{4 0 1} ^{−для этойобласти;} E ¹ ₂ min.

0 1

3. Пусть r > R₂. Проведем теперь сферическую поверхность радиусом ОК = r и аналогично опреде-лим

Ф Е4r², или

_{Ф 1} −q_{2 0,}

0 тогда

_{E 4}q_{2 0.}

Приr R₂

Приr 

q −q₂ 4₀R₂

E 0.

19

Теперь построим график E(r)

E

^{0 R}₁ R₂ ^r

ЗАДАЧА 12. Пучок катодных лучей, направленный параллельно обкладкам плоского конденсатора, на пути l = 4 см отклоняется на расстояние h = 2 мм от первоначального направления. Какую скорость v име-ют электроны катодного луча в момент влета в конденсатор? Напряженность электрического поля внутри конденсатора

E = 22 500 В/м. Отношение заряда электрона к его массе ^e 1,76 10 Кл/кг.

Дано: Решение

l 410⁻² м ^l h 210⁻³ м

11

m

m

K

m

m

2

2

m

E

e

Е 22500В/м

^е 1,7610¹¹ Кл/кг ^{е v} F_K

h ^х

v = ?

у ^{+ + +}

Вдоль оси х электрон движется прямолинейно равномерно (l = vt), а вдоль оси у прямолинейно равноускоренно с ускорением a ^F ^eE .

За время t он смещается в этом направлении на расстояние

_{h }at² _e _El² _,

2v откуда

v l  _m _2h 410⁷ м/с.

ЗАДАЧА 13. Конденсаторы емкостями С₁ и С₂ и резисторы, сопротивления которых R₁, R₂, R₃, вклю-чены в цепь как показано на рисунке. Напряжение U₀ известно.

Какой установившейся заряд на конденсаторе С₂?

20

Дано: Решение

С₁, С₂, _{С1 R3}

R₁, R₂, R₃,

U₀

R₂

q₂ = ? ^{R1 C2} U₀

По закону Ома для участка цепи

I _{R R2 R} ,

C₂ ^q2 , U₂ IR_{2 3} , 2

^{то q2 C2 U2 C2 U0}R₂ R^.

ЗАДАЧА 14. Батарея из трех одинаковых воздушных конденсаторов, показанная на рисунке, заряжена от источника ЭДС до разности потенциалов U, затем отсоединена от него.

Чему будет равна разность потенциалов между точками А и В, если расстояние между пластинами конденсатора С₃ увеличить в два раза и пространство между ними заполнить диэлектриком с диэлектриче-ской проницаемостью = 4.

С₁

_А С_{3 В}

С₂

U

0

1

3



R

U



R

R

3

2

R

1

3







1

С

С,

1

3



2d



0

4С

3

3

Дано:

= 4

С₁ = С₂ = С₃ = С

U

Решение

Емкость батареи:

С С₂ С₃ 2 ⁰ С С₂ С₃ 3

U₁ = ?

тогда

q₀ ²CU.

Емкость третьего конденсатора стала

С₃ ^{0 4S} 2C₃ 2C,

тогда общая емкость системы станет равной

С^^{2С 2С} С, и заряд q₀ C U₁, _тогда 2_{CU CU1, откуда U1 }2_U.

ЗАДАЧА 15. Два проводящих шара, радиусы которых r₁ и r₂, заряженные до потенциалов ₁ и ₂, со-единяются тонким проводником. Найти поверхностные плотности ₁ и ₂ электрических зарядов шаров после их соединения. Расстояние между шарами велико по сравнению с их радиусами.

21

Дано: Решение

r₁, r₂ Первоначальные заряды шаров

^{1, 2} _{1 1 1} 4₀, q_{2 2} ₂ 4₀.

₁ = ? _{Общий потенциал шаров после их соедине-}₂ = ? ния определим из условия сохранения заряда.

Соединение шаров такой проволокой эквивалентно параллельному соединению конденсаторов: ₁ q₂ 4₀_{1 1 2}₂  _{1 1 2}₂

₁ C₂ 4_{0 1} _{2 1 2}

Поверхностные плотности зарядов на шарах:

q^ C  4_{0 1}_{1 1 2}₂  ₀_{1 1 2}₂ ¹ 4r² 4r² 4r² ₁ r _{1 1 2}

^{Аналогично} _{2 } q_{2 2 }₀_{1 1 2}₂ _. 2 ^{1 1 2}

ЗАДАЧА 16. В заряженном плоском конденсаторе, отсоединенном от источника, напряженность элек-трического поля равна Е₀. Половину пространства между пластинами конденсатора заполнили диэлектри-ком с диэлектрической проницаемостью (толщина диэлектрика равна расстоянию между пластинами). Чему стала равна напряженность Е электрического поля в пространстве между пластинами, свободным от диэлектрика?

Дано: Решение

, Е_{0 В случае плоского конденсатора с расстояни-Е = ?} ем между пластинами d и емкостью С₀ разность

потенциалов между пластинами (без диэлектрика) U₀ E₀ d и заряд на пластинах q C₀ U₀ C₀E₀d. Конденсатор, половина которого заполнена диэлектриком, можно рассматривать как два соединен-

ных параллельно конденсатора, причем один не содержит диэлектрика и имеет емкость

С ^С0 ,

а в другом все пространство между пластинами заполнено диэлектриком, и поэтому его емкость С₂ ^С0 .

Полная емкость будет

_{0 0} С₀ 2 2 2

При отключенном источнике тока заряд на пластинах сохраняется. Поэтому разность потенциалов ме-жду пластинами теперь будет

U ^q ,

и напряженность электрического поля внутри конденсатора

U q 2E₀ d Cd 1

ЗАДАЧА 17. Определить КПД источника тока в цепи I = 0,8 А, если ток короткого замыкания равен I_к.з. = 2 А.

22

r

r



q

r



r



r

q

r



 

.

 

r

r

r

r

C

r

r





r

r

r





 

1

1

.

 

 

r

r

r

r

1

1

1

2





r

r

 

r



r r

r

4

1

2

2



С

С

1



 

С

.

C



 

.

E

Дано: Решение

r





 

1

2





2



t

R

1

Q

I



q



2

r



,

,

2

e



I = 0,8 А, I_к.з. = 2 А

= ?

_{Iк.з }_{. (1)}

По закону Ома для полной цепи:

^{I }R^r ^{. (2)}

Используя закон Джоуля–Ленца, найдем количество тепла, выделившегося за время t на сопротивле-нии R

2

Q I ²Rt  R t,

R r а во всей цепи

Q I ² R rt I t _{R r} . Коэффициент полезного действия:

^Q _{R r} , или с учетом (1) и (2)

^I 0,4 40%. к.з

ЗАДАЧА 18. Определить какой ток создает электрон, вращающийся вокруг ядра в атоме водорода, ес-ли радиус его орбиты принять равным 5,310⁻⁹ см.

Дано:

r 5,310⁻¹¹ м е 1,610⁻¹⁹ Кл m 9,110⁻³¹ кг

I = ?

Решение

Сила тока:

I _t ^e _t^N e^ev ,

где N – число оборотов электрона за время t; n – частота.

При движении электрона по круговой орбите роль центростремительной силы играет кулоновская сила взаимодействия электрона с ядром:

mv² e²

^r 4₀r² откуда

v 

следовательно

e

4₀rm

I _{2r 40rm} 1,0510⁻³ A.

ЗАДАЧА 19. N – одинаковых аккумуляторов соединены последовательно, причем k из них включены навстречу другим. ЭДС каждого элемента равна ₁, внутреннее сопротивление – r₁. Какой ток установится в цепи, если батарею замкнуть на сопротивление R?

23

1









.



1

.

I

1



t

2

2

2

1

Q

R



1

1

2



r

R

2

1



1

2

,

2

2

R



1 2

,

2

2

R

1

R

R

1

2

1

1

1

1

2

1

 





R

2

1

Rr

r

1

1

1

Дано: , k,

R, N, r₁

I = ?

Решение

Запишем закон Ома для полной цепи

I _{R r} .

Так как элементы соединены последовательно, то r = Nr₁. ЭДС батареи равна алгебраической сумме ЭДС элементов:

N −k₁ −k₁ ₁ N −2k

Следовательно, ток в цепи

N −2kR N r

ЗАДАЧА 20. При поочередном замыкании аккумулятора на резисторы R₁ и R₂ в последних выделились равные количества теплоты. Найти внутреннее сопротивление аккумулятора.

Дано: Решение

R₁, R₂ ^{Согласно закону Джоуля–Ленца:}

^{r = ? Q I1 R t }^{2R t 2 , 2 I2 2 t }R ^2Rr^.

^{Так как Q1 = Q2, то} ²R t ²R t ₁ rR₂ r

R R

₁ r R₂ r

откуда r  R R₂ .

ЗАДАЧА 21. Первый аккумулятор имеет КПД ₁, второй, замкнутый на такое же сопротивление, – ₂. Каким будет КПД, если замкнуть на это сопротивление оба аккумулятора, соединенные последовательно?

Решение

КПД аккумуляторов:

_{R r} , ₂ _{R r} ,

где R – внешнее сопротивление; r₁, r₂ – внутренние сопротивления первого и второго аккумуляторов соот-ветственно, получаем

_{r }R−_{, r }R−₂ _, 1 2

^{тогда } _{1 2} ^₂ −₂ ^.

ЗАДАЧА 22. В схеме = 2,1 В, ₂ = 1,9 В, R₁ = 45 Ом, R₂ = 10 Ом и R₃ = 10 Ом. Найти силу тока во всех участках цепи. Внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

24

1

R



R

R

R

R









Дано:

= 2,1 В

₂ = 1,9 В

Решение

₁

R₁ = 45 Ом R₂ = 10 Ом

R₃ = 10 Ом

₂ ^обход

¹ R₃

I₁ = ?

I₂ = ?

_обход ^I1 I₃

^{I3 = ?} R₂ I₂

По первому закону Кирхгофа:

I₂ + I₃ = I₁.

Запишем уравнения для замкнутых контуров по второму закону Кирхгофа: I_{1 1} I_{3 3} ₁,

I_{1 1} I_{2 2} ₂, или

45I₁ 10I₃ 2,1, 4,5I₁ I₃ 0,21, 45I₁ 10I₂ 1,9, 4,5I₁ I₂ 0,19,

4,5I₁ + I₁ – I₂ = 0,21.

5,5I₁ −I₂ 0,21, _4,5I₁ I₂ 0,19, _

10 I₁ = 0,4.

I₁ = 0,04 A, I₂ = 0,19 – 4,5 · 0,04 = 0,01 A, I₃ = 0,03 A.

25