1 Постановка задачи

В аэропорту отправления базируется авиакомпания, осуществляющая пассажирские перевозки. Необходимо распределить по рейсам в аэропорты назначения, имеющиеся в наличии воздушные суда нескольких типов. Расчет производится за недельный интервал.

Используются следующие переменные для описания задачи:

I – общее число аэропортов назначения;

J – общее число имеющихся типов ВС;

Nj – общее количество ВС j-го типа, j {1, J};

Dj – максимальная практическая дальность ВС j-го типа, км.;

dj – пассажировместимость ВС j-го типа, пасс., j {1, J};

Li – расстояние воздушной перевозки в i-ый аэропорт назначения из базового аэропорта, км;

Тi – тариф на перевозку одного пассажира в i-й аэропорт, руб, i {1, I};

Qi′ – недельный пассажиропоток из базового аэропорта в i-ый аэропорт назначения, пасс/нед., i {1, I};

Qi′′ – недельный пассажиропоток из i-го аэропорта назначения в базовый аэропорт, пасс/нед., i {1, I};

γ – коэффициент занятости кресел;

Cij – себестоимость выполнения рейса ВС j-го типа из базового аэропорта в i-ый аэропорт назначения и обратно (без учета затрат на обслуживание пассажиров), руб., i {1, I},

j {1, J};

Сi′ – затраты на обслуживание одного пассажира на рейсах из базового аэропорта в i-ый аэропорт назначения, руб., i {1, I};

Сi′′ – затраты на обслуживание одного пассажира на рейсах из i-го аэропорта назначения в базовый аэропорт, руб., i {1, I};

Kij – максимально возможное количество рейсов в неделю ВС j-го типа в i-ый аэропорт назначения и обратно, i {1, I}, j {1, J};

Xij – количество рейсов за одну неделю ВС j-го типа в i-ый аэропорт назначения и обратно (целочисленная переменная), i {1, I}, j {1, J};

Yi′ – количество пассажиров, перевезенных за одну неделю из базового аэропорта в i-ый аэропорт назначения (целочисленная переменная), i {1, I};

Yi′′ – количество пассажиров, перевезенных за одну неделю из i-го аэропорта назначения в базовый аэропорт (целочисленная переменная), i {1, I}.

Переменные Nj, dj, Di, Lj, Тi, Qi′, Qi′′, Cij, Сi′, Сi′′, Kij должны быть известны до начала решения задачи, проектные переменные Xij, Yi′, Yi′′ определяется в ходе решения целочисленной задачи линейного программирования.

До начала решения задачи необходима проверка ограничения на полетную дальность ВС каждого типа:

Li ≤ Dj j = 1, J; i = 1, I; (1.1)

если Li* > Dj* для каких либо i*и j*, то Xi*j* ≡ 0.

Модель А

Распределить по рейсам в заданные аэропорты назначения имеющиеся в наличии воздушные суда нескольких типов, обеспечив заданную потребность в пассажирских перевозках при минимальной суммарной себестоимости всех транспортных операций.

Условие, задающее принципиальную возможность обеспечить перевозки с заданным пассажиропотоком заданным количеством ВС, записывается следующим образом:

dj Nj ≥ Qi / Ki, (1.2)

где Ki = min_{j J} Kij.

Целевая функция (суммарная себестоимость перевозки) записывается следующим образом:

С = Cij Xij → min (1.3)

Ограничения, накладываемые на задачу, формализуются в следующем виде:

1) на максимальное количество используемых ВС j-го типа

Xij / Kij ≤ Nj j {1, J}; (1.4)

2) на требуемое общее количество перевозимых пассажиров в i-ый аэропорт и из него (необходимо перевезти всех пассажиров):

Xij dj γ ≥ Qi i {1, I}, (1.5)

где Qi = max{Qi′, Qi′′}, пасс/нед., i {1, I};

Сформулированная задача является многопараметрической задачей линейного целочисленного программирования минимизации критерия (1.3) с учетом выполнения ограничений (1.4), (1.5).

Суммарная себестоимость перевозки равна сумме найденной в результате решения задачи себестоимости перевозки (1.3) и затратам на обслуживание пассажиров:

С^ПАСС= (Qi′ Сi′ + Qi′′ Сi′′).

Модель Б

Распределить по рейсам в заданные аэропорты назначения имеющиеся в наличии воздушные суда нескольких типов, обеспечив максимальную суммарную прибыль от выполнения всех транспортных операций.

Целевая функция (суммарная прибыль) записывается следующим образом:

П = [Yi′ (Тi – Сi′) + Yi′′ (Тi – Сi′′)] - Cij Xij → max. (1.6)

Ограничения, накладываемые на задачу, формализуются в следующем виде:

1) на максимальное количество используемых ВС j-го типа (1.4);

2) на пассажировместимость ВС (нельзя перевезти пассажиров больше, чем позволяет суммарная вместимость ВС):

Yi′ ≤ Xij dj γ, Yi′′ ≤ Xij dj γ, i {1, I}; (1.7)

3) на возможное общее количество перевозимых пассажиров из базового аэропорта в i-й аэропорт назначения и из i-го аэропорта назначения в базовый аэропорт (нельзя перевезти пассажиров больше, чем имеющийся пассажиропоток):

Yi′ ≤ Qi′, Yi′′ ≤ Qi′′, i {1, I}. (1.8)

Сформулированная задача является многопараметрической задачей линейного целочисленного программирования максимизации критерия (1.6) с учетом выполнения ограничений (1.4), (1.7), (1.8).

Исходные данные

Авиакомпании принадлежат ВС трёх типов, характеристики которых приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Характеристики воздушных судов

j	Тип ВС	Максимальная взлетная масса, т	Пассажиро- вместимость, чел.	Масса топлива при полной загрузке, т	Крейсерская скорость, км/ч	Максимальная практическая дальность полета, км	Количество
1	Ту-334	48,0	102	10,1	820	3150	5
2	Ту-204	93,5	214	24,0	850	3500	5
3	Ан-148	39,0	80	12,1	820	3600	3

Указанные ВС предполагается использовать для выполнения рейсов в аэропорты 14,15,16, данные по которым приведены в таблице 2.

Таблица 2 - Данные по аэропортам

i	Аэропорт	Относительные значения ставок за сборы						Относительная цена ГСМ	Расстояние, км
		АНО в р-не аэродрома	Взлет-посадка	Авиабезопасность	Метеообеспечение	Пользование аэровокзалом	Коммерческое обслуживание
0	Базовый	1	1	1	1	1	1	1	0
1	14	0,727	0,930	1,400	1,571	2,576	1,910	1,045	2150
2	15	0,906	1,004	1,453	1,599	1,273	1,250	1,042	2796
3	16	0,781	3,522	5,032	4,329	2,182	3,220	1,380	2800

Данные за последние 6 лет по показателям, значения которых необходимо спрогнозировать, представлены в таблице 3.

Таблица 3 – Данные наблюдений за 6 лет

Параметр			Обозна чение	Год наблюдений
				2006	2007	2008	2009	2010	2011
Недельный пассажиропоток в i-й аэропорт и обратно, пас/нед.	№ аэропорта,i	1	Q’1+ Q’’1	2930	2994	3166	3360	3537	3359
		2	Q’2+ Q’’2	6210	6273	6560	6888	7176	6701
		3	Q’3+ Q’’3	881	947	1065	1194	1318	1278
Нормативная cебестоимость летного часа ВС 3,4 группы, тыс.руб/ч.			SЛЧ	11,7	12,3	12,9	13,6	14,3	14,3
Ставка сбора за взлет-посадку в базовом аэропорту, руб/т.			S0В-П	114	133	156	182	213	249
Ставка сбора за АНО на воздушных трассах для ВС, имеющих взлетную массу до 5 тонн, руб/100 км			САНО ВТ	172	181	190	200	210	221
Цена ГСМ в базовом аэропорту, тыс.руб/т			Ц0ГСМ	12,4	13,2	14,3	15,5	16,6	16,8

Проверка условия на дальность

Осуществим проверку условия на практическую полетную дальность:

Li ≤ Dj j = 1, 3; i = 1, 3:

L1 = 2125 < D1 = 3150; L1 = 2125 < D2 = 3500; L1 = 2125 < D3 = 3600;

L2 = 2796 < D1 = 3150; L2 = 2796 < D2 = 3500; L2 = 2796 < D3 = 3600;

L3 = 2800 < D1 = 3150; L3 = 2800 < D2 = 3500; L3 = 2800 < D3 = 3600;

Условие выполняется для всех типов ВС и всех аэропортов назначения.