
- •Метод проекций Проецирование. Отображение геометрического объекта на плоскости
- •Дополнение евклидова пространства.
- •Модели координатных плоскостей проекций.
- •Проекции точки.
- •Прямая. Задание прямой линии.
- •Различные положения прямой линии относительно плоскостей проекций
- •Взаимное расположение точки и прямой
- •О пределение длины отрезка прямой и угла ее наклона к плоскости проекции
- •Взаимное расположение двух прямых линий
- •Вычерчивание прямых линий
- •1. Real (без целочисленной арифметики)
- •2. Real-integer (промежуточный алгоритм)
- •3. Integer (алгоритм Брезенхема, 1965 г.)
- •Пересечение прямой и плоскости, видимость прямой
- •Нахождение точки пересечения прямой и плоскости
- •Определение видимости отрезка относительно наблюдателя
- •Плоскость Способы задания плоскости
- •Различные положение плоскости относительно плоскостей проекций
- •Прямые линии и точки, расположенные в данной плоскости
- •Главные линии плоскости
- •Взаимное расположение прямой линии и плоскости
- •2. Прямая параллельная плоскости.
- •3. Прямая, пересекающая плоскость.
- •4. Прямая, перпендикулярная плосоксти.
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •1. Параллельные плоскости.
- •2. Пересекающиеся плоскости
- •3. Взаимно перпендикулярные плоскости
- •Пересечение прямой и плоскости, видимость прямой
- •Нахождение точки пересечения прямой и плоскости
- •Определение видимости отрезка относительно наблюдателя
- •Многогранники Основные понятия. Образование поверхностей некоторых многоугольников
- •Проекции многогранников. Видимость ребер.
- •Пересечение многоугольника плоскостью и прямой.
- •Взаимное пересечение многогранников.
- •Видимость ребер многогранника
- •Однородные координаты и геометрические преобразования Однородные координаты и их особенности
- •О преобразованиях и однородных координатах
- •2. Растяжение (сжатие) вдоль координатных осей
- •3. Отражение относительно оси
- •Перспективное изображение.
3. Взаимно перпендикулярные плоскости
И
з
стереометрии известно, что две плоскости
взаимно перпендикулярны, если одна из
них проходит через перпендикуляр к
другой. Через данную точку можно провести
бесчисленное множество плоскостей,
перпендикулярных данной плоскости .
Пусть плоскость задана своими пересекающимися фронталью f и горизонталью h. Для того, что бы из заданной точки A опустить перпендикуляр n на плоскость , нужно построить его проекции так, чтобы n1 было перпендикулярно f1, а n2 – h2.
Теперь для того, что бы построить произвольную плоскость, перпендикулярную , достаточно построить произвольную прямую m, проходящую через A, и тогда m и n образуют искомую плоскость.
Р
ассмотрим
следующую задачу: через данную прямую
m провести плоскость,
перпендикулярную данной плоскости
a||b).
Если m не перпендикулярна
плоскости, то через такую прямую можно
провести единственную плоскость
перпендикулярную данной. Эта плоскость
вполне определяется двумя пересекающимися
прямыми: данной прямой m
и перпендикуляром n,
опущенным из произвольной точки прямой
на плоскость .
Пересечение прямой и плоскости, видимость прямой
Задана плоскость или
.
Любая точка 3-мерного пространства представима в однородных координатах вектором
Если точка S лежит на плоскости, то
Если же S не лежит на плоскости, то знак этого скалярного произведения показывает, по какую сторону от плоскости расположена точка.
Нахождение точки пересечения прямой и плоскости
Рассмотрим параметрическое представление отрезка [P1P2]
, или , где
V – вектор точки на отрезке,
S – начальная точка,
d – направление отрезка,
t – параметр.
А так как скалярное произведение точки на параметры плоскости равно "0", когда точка принадлежит плоскости, то
Решение этого уравнения относительно t дает точку пересечения, и исходя из
находим соответствующие координаты x,y,z точки пересечения.
Определение видимости отрезка относительно наблюдателя
З а направление плоскости возьмем такое, при котором скалярное произведение ее на точку наблюдения дает положительный результат. Если после определения коэффициентов плоскости (например, методом Ньюэла) скалярное их произведение на точку наблюдения , расположенную в бесконечности на положительной полуоси Z дает "-", то необходимо умножить коэффициенты плоскости на "-1".
Такое направление нормали плоскости позволяет использовать следующее правило для определения видимости концов отрезка: если скалярное произведение конца отрезка на столбец коэффициентов плоскости положительно, то эта вершина видима.
* Если скалярное произведение , то исходная плоскость является фронтально - проецирующей.
Пример
З аданы:
- плоскость или ,
или , т.е.
- отрезок [P1P2], где P1=[1, 0, 2, 1], P2=[-1, 0, -2, 1].
1. Проверка уравнения плоскости на направление нормали в сторону наблюдателя.
2. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости
,
=>
– точка пересечения
3. Определение видимости концов отрезка
=> P1 – видима
=> P2 – невидим.
Многогранники Основные понятия. Образование поверхностей некоторых многоугольников
Многогранником называется общность таких плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является одновременно стороной другого. Эти многоугольники называются гранями, стороны их – ребрами, а вершины – вершинами многогранника. Совокупность всех граней многогранника называется его поверхностью.
О
бразование
поверхностей некоторых многогранников
подчинено определенным законам. Так,
боковая поверхность призм
(призматическая поверхность) образуется
при таком движении прямой a
– образующей – по ломанной направляющей
n, когда прямая a
остается во время движения параллельной
самой себе.
Боковая поверхность пирамид (пирамидальная поверхность) получается при движении прямолинейной образующей a, проходящей через фиксированную точку S, по направляющей n. Призматическая поверхность – частный случай пирамидальной поверхности, где S расположен на бесконечном отдалении.
В том придельном случае, когда направляющая ломанная становится криволинейной, призматическая поверхность превращается в цилиндрическую, а пирамидальная – в коническую.
Положение многогранника в пространстве может быть заданно различным образом: или координатами его вершин (или ребрами), или уравнениями ограничивающих его плоскостей (аналитический способ). Таким образом, любое выпуклое твердое тело можно выразить матрицей тела, состоящей из коэффициентов уравнений плоскостей, т.е.