3. Взаимно перпендикулярные плоскости

И з стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через данную точку можно провести бесчисленное множество плоскостей, перпендикулярных данной плоскости .

Пусть плоскость  задана своими пересекающимися фронталью f и горизонталью h. Для того, что бы из заданной точки A опустить перпендикуляр n на плоскость , нужно построить его проекции так, чтобы n₁ было перпендикулярно f₁, а n₂ – h₂.

Теперь для того, что бы построить произвольную плоскость, перпендикулярную , достаточно построить произвольную прямую m, проходящую через A, и тогда m и n образуют искомую плоскость.

Р ассмотрим следующую задачу: через данную прямую m провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости a||b). Если m не перпендикулярна плоскости, то через такую прямую можно провести единственную плоскость перпендикулярную данной. Эта плоскость вполне определяется двумя пересекающимися прямыми: данной прямой m и перпендикуляром n, опущенным из произвольной точки прямой на плоскость .

Пересечение прямой и плоскости, видимость прямой

 Задана плоскость или

.

Любая точка 3-мерного пространства представима в однородных координатах вектором

Если точка S лежит на плоскости, то

Если же S не лежит на плоскости, то знак этого скалярного произведения показывает, по какую сторону от плоскости расположена точка.

Нахождение точки пересечения прямой и плоскости

Рассмотрим параметрическое представление отрезка [P₁P₂]

, или , где

V – вектор точки на отрезке,

S – начальная точка,

d – направление отрезка,

t – параметр.

А так как скалярное произведение точки на параметры плоскости равно "0", когда точка принадлежит плоскости, то

Решение этого уравнения относительно t дает точку пересечения, и исходя из

находим соответствующие координаты x,y,z точки пересечения.

Определение видимости отрезка относительно наблюдателя

З а направление плоскости возьмем такое, при котором скалярное произведение ее на точку наблюдения дает положительный результат. Если после определения коэффициентов плоскости (например, методом Ньюэла) скалярное их произведение на точку наблюдения , расположенную в бесконечности на положительной полуоси Z дает "-", то необходимо умножить коэффициенты плоскости на "-1".

Такое направление нормали плоскости позволяет использовать следующее правило для определения видимости концов отрезка: если скалярное произведение конца отрезка на столбец коэффициентов плоскости положительно, то эта вершина видима.

 * Если скалярное произведение , то исходная плоскость является фронтально - проецирующей.

 

Пример

З аданы:

- плоскость или ,

или , т.е.

- отрезок [P₁P₂], где P₁=[1, 0, 2, 1], P₂=[-1, 0, -2, 1].

1.       Проверка уравнения плоскости на направление нормали в сторону наблюдателя.

2.       Нахождение точки пересечения прямой и плоскости

,

=>

– точка пересечения

3.       Определение видимости концов отрезка

=> P₁ – видима

=> P₂ – невидим.

Многогранники Основные понятия. Образование поверхностей некоторых многоугольников

Многогранником называется общность таких плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является одновременно стороной другого. Эти многоугольники называются гранями, стороны их – ребрами, а вершины – вершинами многогранника. Совокупность всех граней многогранника называется его поверхностью.

О бразование поверхностей некоторых многогранников подчинено определенным законам. Так, боковая поверхность призм (призматическая поверхность) образуется при таком движении прямой a – образующей – по ломанной направляющей n, когда прямая a остается во время движения параллельной самой себе.

Боковая поверхность пирамид (пирамидальная поверхность) получается при движении прямолинейной образующей a, проходящей через фиксированную точку S, по направляющей n. Призматическая поверхность – частный случай пирамидальной поверхности, где S расположен на бесконечном отдалении.

В том придельном случае, когда направляющая ломанная становится криволинейной, призматическая поверхность превращается в цилиндрическую, а пирамидальная – в коническую.

Положение многогранника в пространстве может быть заданно различным образом: или координатами его вершин (или ребрами), или уравнениями ограничивающих его плоскостей (аналитический способ). Таким образом, любое выпуклое твердое тело можно выразить матрицей тела, состоящей из коэффициентов уравнений плоскостей, т.е.