20.Матрица линейного оператора в заданном базисе:связь между вектором х и образом у.Ранг оператора…

Матрица А=(а ij) (i,j=1,…..n) называется матрицей оператора А(с волной) в базисе е1,е2….а ранг матрицы А- рангом оператора А(с волной). Связь между вектором х и его образом у=А(с волной)(х) можно выразить в матричной форме уравнением- Y=A[,где А- матрица линейного оператора, Х и Y- матрицы-столбцы из коодинат векторов х и у. действия над операторами:1) (А+В)(х)=А(х)+В(х)сумма 2 операторов . 2)(лямда А)(х)=лямда(А(х)-произведение на число. 3)(АВ)(х)=А(В(х)) Нулевой оператор О(с волной),переводящий все векторы пространства R(в степени n) в нулевые векторы О(х)= 0,и тождественный оператор Е(с волной),действующий по правилу Е(х)=х.

26. А) Уравнение линии на плоскости. Б)Точка пересечения двух линий.В) Огсновные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

а) Уравнением линии на плоскости Оху наз уравнение, кот удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой прямой.

б) Пусть даны две прямые А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0_. Очевидно, координаты их точки пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т е они могут быть найдены из системы: { А₁х+В₁у+С₁=0 ; А₂х+В₂у+С₂=0}. Если прямые не параллельны, т е А₁/А₂≠В₁/В₂, то решение системы дает ед точку пересечения прямых.

23.Квадратичная форма.Матрица квадатичной формы.Ранг квадратичной формы.

Квадратичной формой L(x1 x2 x3) от n переменных называется сумма,каждый член которой является либо квадратом одной из переменных,либо произведением двух разых переменных ,взятых с некоторым коэффициентом L(x1 x2 xn)=E(i=1,в степени n)E(j=1 в степени n) a ij xi xj. Предпологаем,что коэфф. Квадратичной формы a ij-действительные числа,причем a ij= aji/ матрица А= ( a ij)(i, j=1,2…) составленная из этих коэффиц.,называется матрицей квадратичной формы. В матричной заиси квадатичная фора имеет вд L=X(штрих)AX, где X=(x1 x2 xn)- матрица-столбец переменных

Ранг матрицы квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэфф. Канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях

24.Квадратичная форма(канонический вид).Приведение квадратичной формы к каноническому виду…

Теорема: любая квадратичная форма с помощью невырожденного лнейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Закон инерции квадратичных форм:число слагаемых с поожительными(отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

25. Положительно и отрицательно определенная,знакоопределенная квадратичные формы .Критерии знакоопределенности квадратичной формы .

1)для того чтобы квадратичная форма L=X(штрих)AX, была положительно(отрицательно)определенной, необходимо и достаточно ,чтобы все собственные значения лямда i матрицы А были положительны (отрицательны).

2) Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной ,неоходимо и недостаточно,чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны.3) квадратичная форма называется положительн/(отрицательно) определенной,если при всех значениях переменных,з которых хотя бы одно отлично от нуля, L(x1 x2 xn) ˃0 (L(x1 x2 xn) ˂0) . Так как главные миноры матрицы А положительны,то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма L поожительно определенная