12 Система линейных однородных уравнений и ее решения.Условие существования ненулевых решений систем.

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой инейны однородных уравнений,если все их свободные члены равны нулю..Решения системы ЛОУ обладает след. Св-ми 1) если строка е1=(к1 к2 к3,кn)-решение системы,то и строка Лямда е1=(лямда к1,лямда кn)-также решение этой системы. 2) если строки е1=(к1 к2,кn) и е2=(l1 l2 ln)- решение системы то при любых с1 и с2 их линейная комбинация с1е1+с2е2=(с1к1+с2l1 +c1kn+c2ln)-также решение данной системы

14.Скалярное произведение 2 векторов и его выражение в координатной форме. Угол мжду векторами.

Скалярным произвдением вух вектров а и в называется число,равное произвдению этих длин вектров на косинус угла между ними.,т.е скалярное произведение 2 векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов. Формула((a,b)=ab=/a//b/cos фи. Угол между векторами а и b(cos фи=(a,b)/ /a//b/=x1x2+y1y2+z1z2/x1(х1(в кв.)+у1(в кв.)+z1(в кв.) под корнем * х2(в кв)+у2(в кв)+Z2(в кв) под корнем)

15. n-мерный вектор.Линейная комбинация,линейная зависимость и независимость векторов.

n-мерным вектром называется упорядоченная совокупность n действительных чисел,записываемых в виде х=(х1,х2,хn),где хi-i-я компонента вектора х1

16.Векторное пространство ,его размерность и базис .

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определны операции сложения векторов и умножения вектора на число называется векторным пространством.Размерность пространства- это максимальное число содержащихся в нем линейно-независиых векторов. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется базисом. Теорема: Если е1,е2,…еn- система линейно-независимых векторов пространства R и любой вектор а линейно выражается через е1,е2,еn,то пространство R является n-мерным, а векторы е1,е2..- его базисом

.

17.Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве.Евклидово пространства. Длина(норма ) вектора

Скалярным произведением 2 векторов называется число (х,у)=х1у1+х2у2+хnуn= Е(сверху маленькая n,снизу i=1)xiyi.

Линейное пространство в котором задано скалярное произведение векторов,удовлетворяющее указаннм 4 св-ам называется евклидовым пространством. Длиной(нормой) вектора х в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата.( /x/=корень из(x,x)= корень из х1(в кв)+х2(в кв)….)

18. Ортогональне векторы.Ортогональный и ортонормированный базисы.

2 вектора называются ортогональными,если их скалярное произведение равно нулю. Векторы n-мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице. Теорема : во всяком nмерном евклидовом пространстве существует ортономированный базис.

19.Определение оператора . Понятие линейного оператора.Образ и прообраз векторов.

Если задан закон(правило) по которому каждому вектору х пространства R в степени n ставится в соответствии единтвенный вектор у пространства R в степени m ,то говорят чточто задан оператор(преобразование,отобржение) А(с волной сверху) (х) дйствующий из R(в степени n) и R( в степени m) , и записывают

У= А(с волной)(х).Вектор у=А(с волной)(х) называется образом вектора х,а сам вектор х- прообразом вектора у. Оператор называется линейным если для любых векторов х и у пространства R(в степени n) и любого числа лямда выполняются соотношения: 1)А(х+у)=А(х)+А(у)…(А с волной сверху) 2) А(лямда х)=лямда А(х)…(А с волной)