3.А)Квадратная матрица и ее определитель. Б)Особенная и неособенная квадратные матрицы. В)Присоединенная матрица. Г)Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

а)Если кол-во строк= кол-ву столбцов, то такая матрица наз квадратной размером m×m(матрица порядка m). Понятие определитель приминяется только для квадратных матриц, detA,(А),∆. Определителем кв матрицы А наз число, кот вычисляется по след правилам: 1) А=(а₁₁) detA=а_11. 2) А=(а₁₁а₁₂) detA=а₁₁а₂₂-а₁₂а_21.

(а₂₁а₂₂)

3) А=(а₁₁а₁₂а₁₃)

(а₂₁а₂₂а₂₃)

(а₃₁а₃₂а₃₃)

Для 3) правилом ∆(Саррюса). detA=а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₃а₂₁а₃₂+а₃₁а₁₂а₂₃-а₃₁а₂₂а₁₃-а₁₁а₃₂а₂₃-а₃₃а₂₁а_12.

4) Определитель п-го порядка – сумме произведения элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. ∆=а_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in. –разложение по строке. ∆=a_ijA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj- разложение по столбцу.А_ij=(-1)^i+jM_ij- алгеброическое дополнение.

в,г)Пусть матрица А- кв. Матрица А^-1-наз обратной к матрице А, если выполняется усл: А^-1А=АА^-1=Е. Мариица наз невыражденной, если ее определитель не =0, в противнос случае матрица-выражденная. Теорема(необходимое и достаточное усл сущ обратной матрицы):Обратная матрица А^-1сущ единственно тогда и только тогда, когда исходная матрица невыражденная и вычисляется по формуле А^-1= 1/ detA×А^~, А^~-присоединенная матрица сост из алгебраических дополнений транспонированной матрицы

А^~= (А₁₁А₂₁…А_п1/А₁₂А₂₂…А_п2/…/А_1пА_2п…А_пп). Схема вычисления обр матрицы:

1) вычисляем определитель матрицы. Если определитель равен нулю , то матрица вырожденная и обратной матрицы не сущ. Если detA не=0, то: 2) вычисляем алгебраические дополнения и составляем присоединенную матрицу А^~. 3) Составляем обратную матрицу по формуле: А^-1= 1/ detA×А^~. 4) Выполняем проверку: А^-1А=Е.

8. а)Система т линейных уравнений с п переменными (общий вид). б)Матричная форма записи такой системы. в)Решение системы(определение).г)Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

а) Система т линейных ур-ний с п переменными имеет вид:

{а₁₁х₁+а₁₂х₂+а₁₃х₃+…+а_1пх_п=b₁

{ а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₂₃х₃+…+а_2пх_п=b₂

{……………………………….

{ а_т1х₁+а_т2х₂+а_т3х₃+…+а_тпх_п=b_т

б) Систему Ур-ний ↑ можно записать в матричной форме: А- матрица системы сост из коэффициентов при неизвестных. Х-матрица неизвестных, В-матрица-столбец свободных членов.

(а₁₁ а₁₂ а₁₃ …а_1п) (х₁) (b₁)

А=( а₂₁ а₂₂ а₂₃ …а_2п) Х= (х₂) В= (b₂)

(…………………..) (…) (…)

( а_т1 а_т2 а_т3… а_тп) (х_п) (b_n)

Система ур-ния в матричной форме имеет вид Ах=В.

в)Решением системы наз такая совокупность п чисел (х₁=к_1,х₂=к_2,…, х_п=к_п), при подстановке кот каждое ур-ние системы обращается в верное равенство.

г)Система ур-ний наз совместной,если она имеет хотя бы одно решение, несовместной, если не имеет решений. Совместная система ур-ний наз определенной,если имеет ед решение, и неопределенной,если имеет более 1 решения.