№1. а)Понятие матрицы. б)Виды матрицы. в)Транспонирование матрицы. г)Равенство матриц. д)Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

а)Матрицей размера m×n наз прямоугольная таблица сост из m-строк и n-столбцов.

⌠а₁₁а₁₂а_13……а_1n ⌠

А= |a₂₁a₂₂a_33……a_2n |=(a_ij)_m×n=[a_ij]_m×n.

|……………… |

⌡a_m1a_m2a_m3…a_mn⌡

a_ij-элементы матрицы. i-номер строки j-номер столбца

б)Матрица сост из одной строки наз матрицей строкой(вектором строкой):В=(b₁₁b_12…b_1n).

Матрица сост из одного столбца наз матрицей-столбцом(вектором-столбцом).

[c₁₁]

C=| c₂₁ |

| … |

[c_m1]

Если кол-во строк = кол-ву столбцов, то матрица наз квадратной размера m×n (матрица порядка m). Диагональная матрица-матрица все элементы кот, кроме диагональных =0.

Элементы матрицы у кот номер столбца = номеру строки наз диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Если у диагональной матрицы все диагональные элементы =1, то она наз единичной. (Е=(…)). Матрица любого размера называется нулевой если все ее элементы равны 0.

в)Транспонирование матрицы- переход от матрицы А к матрице А^/, в кот строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А^/ наз транспонированной относительно матрицы А. Св-ва: 1) (А^/)^/=А, 2) (λА^/)^/=λА^/, 3) (А+В)^/=А^/+В^/.4) (АВ)^/=А^/В^/.

г)Две матрицы А и В одного размера наз равными,если они совпадают поэлементно, т е a_ij=b_ij для любых i=1,2,…m; j= 1,2,…,n.

д)1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число λ наз матрица В=λА, элементы кот b_ij=λa_ij для i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Произведение матрицы А на число 0, равно нулевой матрице. (0А=0).

2. сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m×n наз матрица С=А+В, элементы кот c_ij=a_ij+b_ij для i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. ( т е матрицы складываются поэлементно). В частности А+0=А.

3. Вычетание матриц. Разность двух матриц одинакового размера опред ч/з предыдущие операции А-В= А+(-1)В.

4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Произведением матрицы А размера m×k на матрицу В размера k×n наз матрица С размера m×n, каждый элемент кот = сумме произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы j-столбца матрицы В. c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ikb_ik.

4. А)Понятие минора к-го порядка. Б)Ранг матрицы(определение).В)Вычисление ранга матрицы с помощию элементарных преодразований.Пример.

а)В матрице А размера т×п вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы к-го порядка, где к<=min(m;n). Определители таких подматриц наз минорами к-го порядка матрицы А.

б)Рангом матрицы А наз наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы.

в)Элементарные преобразования: 1) отбрасывание нулевой строки(столбца). 2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное 0. 3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы. 4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов др строки (столбца), умноженных на любое число. 5) Транспонирование матрицы.

Пример. (0 -1 3 0 2)

А= (2 -4 1 5 3)= (2 -4 1 5 3)

(-4 5 7 -10 0) (0 -1 3 0 2).

(-2 1 8 -5 3)

r(A)=2. Матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры 2-го порядка, не =0, например |2 -4|

|0 -1|=-2 не=0.

5. А)Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Б)Теорема о ранге матрицы.

а) Если линейная комбинация строк λ₁е₁+ λ₂е₂+… +λ_ме_м=0, тогда и только тогда, когда все коэффициенты λ_i =0, т е λ₁=λ₂=…= λ_м=0,то строки е_1,е₂,…,е_т наз линейно независимыми. λ-число, е₁=а₁₁а₁₂а₁₃…_, е₂=а₂₁а₂₂а_23.

б)Ранг матрицы = максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, ч/з кот линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

2. А)Определители 2-го,3-го и п-го порядков (определения и из св-ва). Б)Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

а) Определителем матрицы 2-го порядка наз число, кот вычисляется по формуле:

∆₂=|А|=|а₁₁а₁₂|=а₁₁а₂₂-а₁₂а_21.-члены определителя.

|а₂₁а₂₂ |

Определителем матрицы 3-го порядка кот вычисляется по формуле: ∆₃=|А|=а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₂+а₂₁а₃₂а₁₃-а₃₁а₂₂а₁₃-а₁₂а₂₁а₃₃-а₃₂а₂₃а₁₁.

Определителем квадратной матрицы n-го порядка наз число =алгебраической сумме п! членов, каждый из кот явл произведением п элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (-1)^r(J)где r(J)-число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания: ∆=|А|=∑_(J)(-1)^r(J)a_1j1a_2j2…a_njn.

C-ва:1) если какая-либо строка (столбец) матрицы сост из одних нулей, то ее определитель=0. 2) если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то ее определитель умножится на это число. 3) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется |A^/|=|A|. 4) при перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный. 5) если квадратная матрица содержит две одинаковые строки(столбца), то ее определитель=0. 6) если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0. 7) сумма произведений элементов какой-либо строки(столбца) матрицы на алгебраичские дополнения элементов др строки (столбца) этой матрицы равна 0. 8) определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки(столбца) матрицы прибавить элементы др строки(столбца), предварительно умноженные на одно и тоже число. 9) Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки(столбца) = определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки(столбца) на числа b₁,b₂,…,b_n. 10) определитель произведения двух квадратных матриц= произведению их определителей.

б)Определитель п-го порядка = сумме произведения элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. ∆=а_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in. –разложение по строке. ∆=a_ijA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj- разложение по столбцу.