Называют оптическои разностью хода .

Е

Ar = L₂ - L₁

сли Щ = П2 = 1, то оптическая разность хода равна геометрической

Разности хода

В общем случае

2л , ч			2п .
Ф2 -Ф1 =— (n2L2 - n1L1)	или	Аф =	ТА

Если П1 Ф const и П2 Ф const, то оптическая разность хода находится интегри­рованием А = J П2dl - J Uidl. Здесь первый интеграл берется по пути второй волны в

своей среде, а второй - по пути первой волны в своей среде.

Условия максимумов и минимумов можно записать для оптической разности хо-

2п 2п

да, так как АФ = - А, то при А = 2тп получаем

X

X

А

условие максимумов

= тХ = 2т ^Х 2

• о

  - оптическая разность хода равна целому числу длин волн или четному числу полуволн. Соответственно,

  

  условие минимумов

  птическая разность хода равна полуцелому числу длин волн или нечетному числу полуволн.

Почему же мы не наблюдаем интерференции света, например, от двух ламп. Дело в том, что все естественные источники дают некогерентный свет. Более того, абсолют­но когерентных источников не существует. Это идеализация. В реальных случаях более уместно говорить о степени когерентности света.

Для определения степени когерентности рассматривают по отдельности про­странственную когерентность, для количественного описания которой ис­пользуют р_ког - радиус когерентности, и временную когерентность, для

описания которой используют т _ког - время когерентности и Ь_ког = ct_ког - длину когерентности.

Рассмотрим сначала пространственную когерентность.

Если свет монохроматичен, тогда в идеальном случае точечного источника на экране будет наблюдаться устойчивая интерференционная картина. Увеличение разме­ров источника приводит к ухудшению ее контрастности и к полному исчезновению. Это связано с тем, что максимумы интерференционных картин точечных источников части протяженного источника наложатся на минимумы интерференционных картин точечных источников другой части протяженного источника, и общая интерференци­онная картина исчезнет. Для получения интерференционной картины необходимо, что­бы размер каждого источника не превосходил определенного предела, зависящего от взаимного расположения источников и расстояния между ними, а также положения эк­рана. Источники называются пространственно когерентными, если их размеры и по­ложения позволяют наблюдать интерференцию.

Если волны от крайних точек S и S' протя­женного источника выходят симметрично для неко­торой точки экрана P, и а - угловой размер источ­ника, то условие хорошей контрастности для этого источника будет иметь вид

, . а X l sin— < — 2 2	, или	1 < X
		— < ~ • а 2sin2

П од радиусом когерентности понимают минимальное расстояние ме­жду двумя точками протяженного источника, расположенными на плоскости, пер­пендикулярной к направлению распространения волны, при котором интерференцион­ная картина от световых волн, излучаемых этими точечными источниками, исчезает. Для источника, размеры которого равны радиусу когерентности, интерференцион­ные картины от двух половин источника, накладываясь, дают равномерную освещен­ность экрана.

Радиус когерентности определяется из условия исчезновения интерференционной картины при l = р _ког. Тогда радиус когерентности можно выразить через угловой раз-

X . а а

мер источника р _ког = . При малых углах sin — » —, следовательно,

_ . ^{а 22}

^ш 2

X

^р

а

ког

Радиус когерентности обратно пропорционален угловому размеру источника из точки наблюдения, чем меньше а, тем больше радиус когерентности.

Для строго плоских идеальных волн (излучаемых бесконечно удаленным источ­ником) все направления лучей параллельны, а = 0, и они пространственно абсо-

X

лютно когерентны р_ког = — = да . Для реальных источников (не бесконечно удален­ных) пространственная когерентность повышается (растет р _ког) по мере удаления от

источника. Например, свет звезд обладает высокой степенью когерентности. Высокой пространственной когерентностью обладает излучение лазеров, световые лучи которых характеризуются высокой направленностью.

В классическом опыте Юнга (T. Young, 1773-1829) источником света S служи­ла освещенная узкая щель угловым размером а» 5 • 10 ⁴ рад. За щелью S на рас­стоянии d друг от друга были расположены две щели Si и S2 . Для наблюдения ин-

X

терференции должно выполняться условие d < р _ког = —. Чтобы выполнить это усло­вие для средней длины волны излучения X = 550 нм, Юнг расположил щели Si и S2 , X 5,5 • 10^-7 .

на расстоянии d < — = — » 1 мм , и ему удалось наблюдать интерференцион-

а 5 • 10^-4

ную картину.

л X

При d > — интерференционная картина пропадает. Опыт, аналогичный опыту а

Юнга, за 150 лет до него был осуществлен в 1665 году Франческо Гримальди (F. Gri­maldi, 1618-1683). В опыте Гримальди первой щели S не было, и свет падал прямо от Солнца. Угловой размер Солнца а * 30” = 0,0087рад, тогда для получения интерфе­ренционной картины было необходимо, чтобы щели Sj и S2 находились на расстоя-

X

нии d < — * 6 • 10 нм = 0,06 мм . Это условие в опыте Гримальди не было выполне- а

но, и интерференционную картину Гримальди получить не удалось.

Перейдем к рассмотрению временндй когерентности.

Мы рассматривали строго монохроматические волны одной и той же частоты. Такие волны, излучаемые идеальными (точечными) источниками, когерентны, то есть всегда интерферируют. Интерференционная картина таких источников устойчива, рас­пределение интенсивности на экране неизменно во времени.

И злучение реальных источников не является строго монохроматичным и, если они независимы, то усиление и ослабление светового потока при их наложении недос­тупны наблюдению. Поясним это на модели идеализированных источников, излучаю­щих почти монохроматические волны, амплитуда и фаза которых хаотически изменяется за время, много большее периода колебаний. Такая волна представля­ет собой совокупность «обрывков» гармонических волн разной амплитуды и фазы. Примером может служить излучение изолированного атома, который в _8

течение т * 10 _ с испускает ряд волн или, как при­нято говорить, цуг волн, независимо следующих друг за другом. При наложении света цугов двух ато­мов на экране получится некоторая интерференционная картина, которая определяется разностью фаз между колебаниями обоих цугов. За одну секунду сотни миллионов раз сменятся пары цугов, хаотически изменится разность фаз, и столько же интерференци­онных картинок промелькнет на экране. Глаз или другой приемник света не в состоя­нии уследить за этой сменой картин и фиксирует только равномерную освещенность экрана.

Рассмотрим идеализированный немонохроматический источник. Допустим, что свет источника S представляет волны с длинами волн из диапазона (X, X + 5X). Если

• . _v л ,^8X

для некоторой точки экрана разность хода для волн с длинами волн X и X = X +

б

[^N+i

V ² У

X, то волны с длиной волны X'

удет определяться выражением Д = NX'

придут в эту точку в фазе, а с длиной волны X - в противофазе. В этом случае макси-

8

X, X + —

V ² у

X^Л

мумы интерференционных картин диапазона

наложатся на минимумы ин-

X + , X + 8X

V ²’ ,

и интерференционные полосы

X

или

терференционных картин диапазона исчезнут. Условие исчезновения полос будет NX'

Максимумы и минимумы с номерами, меньшим, чем N, будут видны, а с номе­ром порядка N и более будут смазаны. Это означает, что квазимонохроматические волны, когерентные при низких порядках интерференции, перестают быть когерент­ными при высоких порядках N ~ -=т-.

OX

Нарушение когерентности в данном случае связано с запаздыванием одних волн по сравнению с другими. Поэтому и говорят о временндй когерентности, количествен­ной характеристикой которой является Т_ког - время запаздывания между волнами, при котором интерференционная картина пропадает, которое называют временем когерентности . За время когерентности волна проходит расстояние, равное длине когерентности.

Длиной когерентности называется минимальная разность хода между двумя волнами вдоль направления распространения волны, при которой интерферен­ционная картина пропадает, и волны нельзя считать когерентными. По определению L_ког - разность хода между волнами, при которой пропадает интерференционная кар-

тина, таким образом

Тогда время когерентности

, где V - фазовая скорость волны.

• _

  1

  VOX

П

^Тког Ov

оскольку частота волны V = —, то OV = ——, и тогда

^X X²

Принято считать, что наибольший порядок наблюдаемого максимума интерфе­ренции определяется из условия

N

L

ког

.

max

Для теплового источника (например, электрической лампочки), испускающего

1

10 _¹⁵ с и,

ког

Av

весь диапазон длин волн Av = 10¹⁵ Гц, время когерентности, х

1

L

0 _⁷ м.

_к

соответственно \_7

ог ■- 10 м . Для этих источников в видимой области при

X ~10_■ м максимальный порядок N_max < 1 , и интерференционная картина не на­блюдается.

Для лазерных источников, генерирующих достаточно монохроматические волны

2 _2 с Av«10 Гц, время когерентности х_ког = 10 с, и длина когерентности

L_K02 * 10 м. В принципе, используя лазерные источники, можно наблюдать интер­ференцию с разностью хода в несколько километров, но в реальности при большой разности хода сказываются неоднородность земной атмосферы и трудности создания стабильного интерференционного устройства таких размеров.

После обсуждения понятия когерентности света перейдем непосредственно к рас­смотрению интерференции, и далее всегда будем считать волны когерентными, то есть расстояние между источниками будем считать меньше радиуса когерентности, а раз­ность хода меньше длины когерентности. При необходимости будем указывать усло­вия, обязательные для выполнения этих требований.

Самый простой случай интерференции - образование стоячей волны, яв­ляющейся результатом наложения распространяющихся навстречу друг другу бегу­щих волн (часто это падающая и отраженная от преграды волны).

Пусть накладываются две плоские волны, распространяющиеся вдоль оси Ox, первая - в положительном направлении, вторая - навстречу,

E_x = E₀ cos(rot - kx) и E₂ = E₀ cos(rot + kx + ф).

^г Ф^Л kx + —

Ф

rot + —

V ² у

Суммарная волна Е = Е} + Е2 = 2Eo^S

cos

является

с

Ф

rot + —

V ² у

с ампли-

тоячей волной, представляющей собой колебания A( x)cos

^Ф

2

тудой A( x) = 2Eo cos

kx +

зависящей от координаты х точки стоячей волны.

Т

Пучности

очки, в которых амплитуда стоячей волны равна нулю, A(x) = 0, называются узлами, их положение определяется условием

или

Расстояние между узлами

Ат = _{х - х} = —

у^{зл Х}у^зл (т+1) ^Ху^зл(т) 2 .

Точки, в которых амплитуда стоячей волны максимальна, A(x) = max = 2E0, называются пуч н о с т я м и, их положение определяется условием

2п ф

X ^Хпу^Ч (т) + = ^тП

i Ф

^kx«>4 (m) + 2 = ^тП

. Расстояние между пучностями также,

или

к

Ах

пуч

ак и для узлов равно половине длины волны,

Для стоячих электромагнитных волн положения пучностей напряженности

электрического поля E совпадает с узлами индукции магнитного поля B, и наоборот. Это позволяет разделить магнитное и электрическое поле в стоячей волне. Получение стоячих электромагнитных волн сопряжено с трудностями, связанными с малостью длины волны. Кроме того, необходимо, чтобы между областью интерференции и отра­жающей поверхностью было расстояние меньше длины когерентности L_Ktог .

Получение стоячих звуковых волн с частотами, например, около V = 1 кГц, не вызывает никаких проблем. Скорость звука в воздухе приблизительно равна V * 330 м/с (точное значение зависит от температуры воздуха). Нестабильность час­тоты может быть легко достигнута порядка Sv * 10 Гц. Следовательно, для этих волн

X = 33 см, а L_KOB = Vt₀ = V — = 33 м. Наблюдение пучностей (и узлов), расстоя-

Sv

ние между которыми А/ * 15 см, в столбе воздуха длиной 1 м не представляет экспе­риментальных трудностей.

Заметим, что стоячая волна в отличие от бегущей волны не переносит энергию. Можно сказать, что падающая волна переносит энергию в одну сторону, а отраженная навстречу, в результате энергия не переносится. Для стоячих электромагнитных волн энергия, не распространяясь, колеблется, переходя из энергии магнитного поля в энер­гию электрического поля и обратно.

Перейдем к подробному рассмотрению другого примера интерференции (уже не­однократно упоминавшемуся опыту Юнга).

Найдем положение точек экрана, соответствующих максимумам или минимумам (светлым и темным областям). Для этого нужно найти разность хода А = L2 — L1 для

произвольной точки с координатой X, где L1 - путь, проходимый светом до точки х

от источника S1, L2 - от источника S 2. Сначала найдем разность квадратов

Л² f лЛ²

т2 7-2

и L1 = L +

Тогда (L2 — L1 )(L2 + L1) = (L2 — L_: ) = 2xd.

В опыте Юнга расстояние d между источниками мало (для пространственной ко­герентности), x мало (для временной когерентности), то есть d << L и x << L. При

2 * ^L и L + l₂

этом можно считать, что L1 * L * L и L + L * 2L.

Тогда получаем А • 2L = 2xd, и разность хода

\2

d

X Н V ²У

d

• ^x 2,

• ²

l²₂ = LL +

4

4

xd

^А=т

Соответственно, используя условие максимумов интерференции Л = mk и усло-

^Г 1 ^

ш

вие минимумов интерференции Л

+ — k,

2

получаем для максимумов

V

V

1

k. Тогда их координаты

ш + —

² /

L

^xmax^d „.л ^xmin^d

= Шк, и минимумов

L

d

d

Расстояние между максимумами

^max = ^xmax(_m+₁) ^{_ x}max_(ш) Расстояние между минимумами

(ш + 1)kL mkL kL ⁼ d'

kL

^min ^xmin( _m+₁) ^xmin( _m)

Распреде-

полос

ление интенсивности света представлено на рисунке.

Заметим, что условия максимумов и минимумов зависят от длины волны, сле­довательно, если свет не мо­нохроматический (содержит

волны разной длины волны), то для каждой волны получится своя картина интерфе­ренции. Полосы для различных длин волн будут иметь разную толщину и будут нахо­диться на разном расстоянии друг от друга (в зависимости от длины волны).

Перейдем к следующему примеру интерференции - интерференция в тонких пленках.

Пусть тонкая пленка толщиной d с оптической плотностью n находится в воз­духе, и под углом i на пленку падает пучок монохроматического света.

Для тонких пленок, если d < L_Koa, будет наблюдаться интерференция волн (лучей), отраженных от передней и задней поверхностей пленки. Результат интерфе­ренции определяется разностью фаз 1' -го и 2' -го лучей.

Если свет белый, то, как мы получили ранее, L_Koa * к, тогда для наблюдения ин­терференции толщина пленки d должна быть d < L_Koa * k. При этом, если d << к,

^ _ kL

d d

Таким образом, светлые и темные области при использовании щелей в качестве источников будут представлять собой полосы, равноотстоящие друг от друга, при этом середина светлой полосы бу-

дет расположена строго меж- ду темными, а середина тем- ной полосы строго посереди- не между светлыми. Ширина

kL

Лх =

d

(m +1) +

то, как мы увидим, будет наблюдаться только центральный минимум, и пленка в отра­женном свете становится темной.

Рассмотрим монохроматическую волну с длиной волны k . Найдем разность хода А лучей 1 — 1' и 2 — 2'.

Д о отрезка АВ волны 1 и 2 прой­дут одинаковый путь. И от точки D вол­ны 1' и 2' пройдут одинаковый путь. Точки отражения луча 2 и выхода луча 1 совпадают, хотя на рисунке они для на­глядности разнесены. Тогда

А = n( AE + ED) — BD.

d

Из рисунка

AE = ED =

cos у

BD = ADsin r, где y - угол преломле­ния, r - угол отражения. Так как AD = 2AC, AC = d • tgY, r = i, то разность хода будет равна

2nd _ , . . 2nd 2nd • sin y . ~ , А = 2d • tgy • sin i = sin y = 2nd • cos y .

cosy cosy cosy

Воспользовавшись законом преломления sin i = n • sin y , получим

А = 2nd • cosy = 2nd-/1 — sin² y = 2dVn² — sin²i.

Окончательное выражение для оптической разности хода получим, если учтем скач­кообразное изменение фазы на К при отражении луча от более плотной среды -

Аф = + п или А = +—. Тогда оптическая разность хода будет равна

2

А = 2d-/

• 2 • , ^k n — sin i + — 2

Заметим, что здесь законы отражения, преломления и изменения фазы волны при отражении мы использовали без обоснования, поскольку все эти законы мы рассмот­рим, когда будем изучать взаимодействие света с веществом.

Запишем условия максимумов и минимумов интерференции в тонких пленках (m - целое число).

Условие максимумов

2dVn² — sin² i =

k

—

m +-

v ²

или

2dVn² — sin² i + — = mk

Условие минимумов

k

2d/

2dy/n² — sin² i = mk

или

9 .9 # V # V

n — sin i + — = mk + —

2 2

k

При этих условиях максимумы и минимумы будут наблюдаться в отраженном от пленки свете.