Vqsin а

ду направлениями скорости и магнитной стрелки и принимает определенные значения в каждой точке пространства.

Исходя из этого, для описания магнитного поля введем некоторый вектор, назы­ваемый вектором магнитной индукции B, который является силовой ха­рактеристикой магнитного поля. Направлением вектора B выбирается направление магнитной стрелки (которому перпендикулярна сила , действующая на движу­щийся заряд) в ту сторону, куда направлен ее северный конец. Величину магнитной индукции в данной точке пространства определим так:

м

B

q

sm а

v\

У

и его модуль

чтем, что F_M ^ B и, кроме того, F_M ^ V, то, следовательно, Fm I где [v, B ] - векторное произведение векторов V и B.

[V,B]| = VBsin а.

Суммируя все перечисленное, можно записать

k

М

q[V, B ]

где к - коэффициент пропорциональности.

Поскольку индукция магнитного поля является новой физической величиной, и для нее нет единицы измерения, то выберем единицу измерения индукции магнитного поля так, чтобы коэффициент пропорциональности был равным единице к = 1.

Тогда, используя введенную характеристику магнитного поля - индукцию маг­нитного поля B, для силы, действующей на заряд q, движущийся со скоростью V в магнитном поле, получим выражение

^FM = q ^{V, B}

Э

действующую на движу-

ту силу, называют магнитной силой Лоренца (H. Lorentz, 1853-1928), или иногда ее называют магнитной составляющей силы Лоренца. В последнем слу­чае силой Лоренца называют силу F = qE + q[v,B] щийся заряд в электрическом и магнитном полях.

П о определению векторного произве­дения - модуль магнитной силы Fm = qVBsin а, где а - угол между век­торами V и B . Направлена магнитная сила перпендикулярно к плоскости, в которой

лежат векторы V и B. Заметим, что если F^

заряд q положителен, направление силы совпадает с направлением векторного произ­ведения [v, b] . В случае отрицательного заряда q, направления векторов Fm и

[V, Bj противоположны.

Как мы видим, предложенное определение вектора индукции магнитного поля полностью согласуется с экспериментом.

Перейдем ко второму способу определения индукции магнитного поля B - рас­смотрим прямолинейный проводник длиной l, по которому течет ток силой 1. Экспе­риментально установлено, что на проводник в магнитном поле действует магнитная сила Fa , которая

• пропорциональна силе тока ( F^ ~ —),

• пропорциональна длине проводника ( F_А ~ I),

• перпендикулярна проводнику ( F_A ^ l ),

• при изменении ориентации проводника с током перпендикулярна некоторо­му направлению, совпадающему с ориентацией магнитной стрелки.

Таким образом, сила, действующая на проводник с током, называемая с и л о й Ампера (A. Ampere, 1775-1836), пропорциональна силе тока и длине проводника, а

по направлению перпендикулярна i и B . Направление индукции определим так же, как в первом случае, а величину индукции определим из выражения

Fa = 1B] ,

где [Г, B] - векторное произведение и I Ц, b]| = IB sin а.

Не будем обсуждать детали второго определения, сразу покажем эквивалентность двух определений. Сила, действующая на проводник F_A , должна быть равна сумме сил

F_M , действующих на все заряды, протекающие по проводнику.

Рассмотрим участок проводника длиной dl, пло- ^dl щадью поперечного сечения проводника S, с концен-

- ^А' ^ трацией n зарядов q, которые движутся со скоростью

• . Тогда суммарная сила, действующая на все заряды участка проводника dl , будет равна

Z ^fm = q^{dnV, b] ,}

где dn = n • S • dl - количество зарядов на участке проводника dl, а qdn - суммар­ный движущийся заряд на этом участке проводника. Тогда Z F_M = nSdlq[)Г, B] , учитывая, что J = qn V - плотность тока, получим Z Fm = Sdl [j , B] .

Если ввести вектор dl , такой, что dl • j = dl • j, то можем записать

Z ^FM = SJ [d/ , b] . По определению плотность тока j = —. Тогда суммарная маг­нитная сила, действующая на участок проводника, будет равна

Z Fm = I [dl, B] .

Э

—» —» dl, B

то и есть сила Ампера, действующая на участок проводника dl с током силой

1. помещенный в магнитное поле с индукцией B под углом а между отрезком про­водника dl и магнитной индукцией B,

dFt = I

Величина силы

I

dF л

dFt

Bdlsin а.

Величину магнитной индукции этим способом можно определить, например, как

где F_{A max} - максимальная сила, действующая со стороны магнитного поля на участок dl проводника с током.

Оба определения совершенно эквивалентны. Обе силы - сила Лоренца (магнит­ная составляющая силы Лоренца) и сила Ампера - в принципе являются одной и той же силой, только первая - это сила, действующая на один движущийся заряд, а вторая

• на все заряды в участке проводника.

Мы получили пока выражение для силы Ампера, действующей на участок про­водника бесконечно малой длины dl.

Рассмотрим прямолинейный проводник с током конечной длины, по которому

п

	—* —*
Fa = I	l, B

ротекает ток постоянной силы I, помещенный в однородное магнитное поле B (оди­наковое во всех точках пространства). На проводник действует сила, равная сумме сил, действующих на каждый бесконечно малый участок проводника,

F_a = J dF_A = j I [dl, B]= I [(f dl) B] или

Подчеркнем, что полученное выражение справедливо только для прямолинейного проводника при B = const, I = const.

Суммарная сила Ампера, действующая на замкнутый контур с постоянным то­ком (I = const), помещенный в однородное магнитное поле, будет равна нулю

F

0

_a = I I(4 dl IB

Это значит, что сила Ампера не может передвинуть замкнутый контур.

При этом силы, действующие на отдельные участки контура, не будут равны ну­лю. Они будут сжимать или растягивать замкнутый контур. Кроме того, силы, прило­женные к различным участкам контура, могут его поворачивать. Если суммарный мо­мент сил будет равен нулю, тогда контур будет только сжиматься либо растяги­ваться, если не равен - то в этом случае будет поворачиваться.

Поместим в однородное магнитное поле B рамку с током. Для простоты рас­смотрим квадратную рамку (которая расположена перпендикулярно плоскости рисун­ка) со сторонами длиной l. В верхней стороне рамки ток (на рисунке) направлен «на

нас», что принято изображать точкой в кружочке

О (символическое изображение наконечни­ка стрелы, направленного на нас). В нижней - «от

нас», что изображается крестиком в кружочке (символическое изображение оперения стрелы, направленной от нас). Силы, действующие на

сунка, будут растягивать контур, но не будут его поворачивать.

Поворот рамки будут обеспечивать силы F₁ и F₂ , действующие на стороны контура, перпен­дикулярные плоскости рисунка. Вращающий момент этих сил M = F^d^ + Fj d 2, где

d_x и d2 - плечи сил (d_x = d2 = соБф).

Силы, действующие на стороны контура, являются силами Ампера. По величине

l ₂

они равны F = F2 = IlB, следовательно, M = 2IIB—СОБф. Так как l = S - пло­щадь плоской поверхности, ограниченной контуром, то M = ISBСО8ф, причем

С О8ф = sin а, где ф - угол между плоскостью контура и

вектором B, а а - угол между нормалью к плоскости кон­тура и B .

Направление нормали выбирается по правилу

правого буравчика: за положительное направление нормали принимается направление поступательного движе­ния буравчика, который вращается в направлении тока, те­кущего в рамке.

Для контура с током вводят магнитный момент \Рт = Щ - это вектор,

к

Pm = ^IS

оторый по направлению совпадает с нормалью к контуру n и по величине равен

.

M =

Pm^B

го момента

Полученные для квадратной рамки выражения для магнитного момента p _m и

вращающего момента M справедливы для любого плоского контура.

Заметим, что, как мы уже говорили, по вращающему действию магнитного поля также можно определить индукцию магнитного поля. Например, так

Тогда величина вращающего момента M = p_mB Sin а . Вектор вращающе-

Заметим, что если проводник представляет собой катушку, содержащую не­сколько витков, то магнитный момент катушки будет равен сумме магнитных момен­тов всех витков. Величина магнитного момента р_т для катушки с N витками равна

р_т = NIS , где S - площадь витка.

Р амка с током будет поворачиваться в магнитном поле до тех пор, пока вращающий момент не станет равным нулю. В этом случае магнитный момент р_т будет направлен по

магнитному полю, так как тогда sin а = Q и M = Q. Следо­вательно, магнитное поле поворачивает магнитные мо­менты так, чтобы они были направлены по полю.

Если магнитное поле неоднородно, то суммарная сила Ампера не будет равна нулю и контур с током будет втяги­ваться в область более сильного поля.

Для индукции магнитного поля можно ввести еще одно определение на основа­нии закона Био-Савара (J. Biot, 1774-1862, F. Savart, 1791-1841), экспериментально установленного французскими физиками в 1820 году. Индукция магнитного поля при этом вводится исходя не из силового действия магнитного поля, а через характеристики источника поля, в качестве которого выбирается бесконечно малый участок проводни­ка с током - Idl , принятый в качестве элементарного источника. Это определение эк­вивалентно предыдущим.

По закону Био-Савара индукция dB магнитного поля элемента тока dl определяется:

Н

A

аправление вектора индукции совпадает с направле­нием движения правого буравчика при его вращении от

вектора dl к r в сторону меньшего угла между векто­рами. Величина индукции будет равна

Здесь r - вектор, проведенный от dl к точке, в которой определяется магнитная ин-

—*■ у

дукция; а - угол между векторами dl и r ; Ц0 = 4Л • 10 Гн/м - константа, которая называется магнитной постоянной.

Закон Био-Савара является аналогом выражения для напряженности электриче-

1. q

с

. Он определяет индукцию

кого поля точечного заряда в электростатике E

4лб q r²

магнитного поля, создаваемого бесконечно малым участком (аналогом точечного заря­да в электростатике) любого проводника с током.

Закон Био-Савара позволяет найти индукцию магнитного поля, создаваемого лю­бым током, поскольку для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции.

Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей: маг­нитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими источниками, (на­пример движущимися зарядами или участками проводника) равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым источником в отдельности

n

B = Bi + B2 +... + B_n или B = У \ Bj

i=1

Для бесконечно большого числа бесконечно малых элементарных источников

принцип суперпозиции записывается в виде интеграла

B = f dB .

Для того чтобы найти индукцию магнитного поля, создаваемую произвольным током в некоторой точке, нужно найти с помощью закона Био-Савара магнитное поле каждого участка и воспользоваться принципом суперпозиции.

Нахождение индукции магнитного поля произвольного проводника достаточно сложно. Однако, если распределение тока имеет определенную симметрию, то приме­нение закона Био-Савара позволяет довольно просто рассчитать индукцию.

Воспользуемся этим способом для нахождения магнитного поля, создаваемого простыми симметричными источниками.

1. Круговой виток радиусом R, по которому протекает ток силой I. Найдем ин­дукцию магнитного поля в центре витка. При выбранном на рисунке направлении тока

индукция любого элемента dl будет направлена перпендикулярно плоскости рисунка «на нас». Все элементы dl проводника будут создавать магнитные поля dB, направ­ленные в одну сторону, тогда суммарный вектор B будет направлен в ту же сторону,

п ри этом его длина равна сумме длин векторов dB .

По принципу суперпозиции B = f dB. С учетом со-

направленности всех векторов dB ,

dl

B

B

^ ₀ Idl

По закону Био-Савара dB = — —, так как угол а

4п r

м

^ ₀ Idl 4п г²

ежду r и dl равен 90° и sin а = 1. Тогда

Т

- длина

ак как r = R = const, то B = —— f dl, где f dl = 2nR

4n ri

п

B

роводника. Следовательно, магнитная индукция в центре кругового проводника ра­диуса R с током силой I радиуса R равна

2. R

2. Прямолинейный проводник длиной l, по которому протекает ток силой I. Найдем индукцию магнитного поля, создаваемую прямолинейным проводником на расстоянии а от него.

По закону Био-Савара каждый элемент длины проводника dl создает поле с маг- j₀ Idl sin а

нитной индукцией dB = — . Поле всех элементов будет направлено в одну

4п r

сторону (на рисунке - «на нас»). Вектор индукции суммарного поля B будет направ-

л

=11^dB

B

ен в ту же сторону и его длина равна сумме длин

i

п

г j₀ Idl sin а

Тогда B = I — . Переменными

j dn

од знаком интеграла являются три ве-

4п _r-

л

N

ичины, связанные друг с другом: r, а и l. Выразим их через одну, проще всего через

-E | a

.

а

Тогда r = \PC\ = — = — . Из прямоугольного треугольника ADC находим

I I с in гм с ллл т

sin а sin а

„ | _

\AD\ rdа

dl = DC = — = — . Подставляя r, можем записать dl

^а2

fsinаdа = --j⁰— cos^ ^а2 =

4па ^J 4па ¹ а,

а₁ ¹

sin а sin а

^а 2

а1

(cos а₁ - cos а ₂).

аdа sin² а

. Тогда

j_n lasinа • sin² а ₇ j_n У . j_nI

⁰ -да = ⁰ — — ⁰

^4п sin² а • а²

J 0^I 4па

Таким образом, для конечного участка прямолинейного проводника индукция магнитного поля на расстоянии а от проводника в точке, расположенной на пе­ресечении прямых, идущих под углами а^ и а ₂ из концов проводника, равна

B = j⁰^ (cos а₁ - cos а ₂)

Если же проводник бесконечный, то а1 = 0 и cosа1 = 1, а а₂ = п и cosа2 = -1, тогда индукция магнитного поля бесконечного прямолинейного про­водника равна

J Q^I

B =

2na

где a - расстояние от проводника.

3. Соленоид - свернутый в спираль изолированный проводник, по которому те-

N

чет электрический ток. Соленоид характеризуют числом витков n = —, приходящих-

L

с я на единицу длины соленоида, где N - полное число витков, L - длина соленоида.

On

Магнитная индукция B в любой точке A, лежащей на оси соленоида Oj O2, на­правлена вдоль оси по правилу правого буравчика и численно равна алгебраической сумме индукций магнитных полей, создаваемых в точке A всеми витками, поскольку магнитные поля витков сонаправлены.

Проведем из точки A к какому-либо витку вектор r , образующий с осью OjO2 угол а. Индукция Bj магнитного поля витка с током в точке A численно равна (получить из закона Био-Савара самостоятельно)

j_Q IR² j_Q IR²

^{2 r3 2} V(r² +1²)

На малый участок длины соленоида dl приходится ndl витков, создающих в точке A магнитное поле, величина индукции которого

dB = 40 , ^IR = ndl.

2 . ,2'

I(r ² +1²)

Выразим переменные величины l и VR² +1² = r через одну переменную -

/ n л Rdа угол а . Как видно из рисунка, расстояние l = Rctgа, откуда dl = —. Длина

sin² а

R

4R^r+i²

. Тогда получим

вектора r равна r

sin а

9 о

j_Q IR • sin а Rdа dB = —— n •

¹ j_QIn sin аdа.

sin² а

3

2

R

Следовательно,

1. ^а_г² B = - — и₀ • nI I sinada.

2

ai

После интегрирования найдем магнитную индукцию B в произвольной точке оси соленоида

ции, достигаемое в центре соленоида при

L/2

cos a

cos a

2

1

V(L /2)² + R²

равно

где a2 < ^ai. Максимальное значение индук-

при

будет

B =¹ и₀nI(cosa₂ - cos a₁)

Снаружи соленоида поле будет сильно убывать с удалением от соленоида. Его мы находить не будем.

Если длина соленоида во много раз больше радиуса его витков (L >> R ), то со­леноид можно считать бесконечно длинным ai = П и a 2 = 0. Поле внутри бес­конечно длинного соленоида будет однородным, и его индукция по величине будет равна значению на его оси

B = и ₀ nI.

Снаружи поле бесконечно длинного соленоида равно нулю.

Если точка A находится на одном из концов длинного соленоида, либо ai = П/2 и a2 = 0, либо ai = П и a2 = П/2, то индукция магнитного поля в точках оси длинного соленоида, совпадающих с его концами, равна:

о ^0^{nI B} = —

Мы нашли магнитное поле наиболее часто используемых источников. Перейдем к рассмотрению действия источников друг на друга. Наиболее простым является взаи­модействие прямолинейных проводников. Поскольку проводники с током создают во­круг себя магнитное поле, а магнитное поле действует на другие проводники с током, то естественно, что проводники взаимодействуют друг с другом.

Рассмотрим взаимодействие двух параллельных бесконечно длинных прямоли­нейных проводников с током, расположенных на расстоянии b друг от друга. Найдем силу взаимодействия, с которой один проводник действует на другой.

Пусть dF2 - сила, с которой первый проводник действует на элемент dl 2 второ-

1. О D ^И0¹1

го проводника. По закону Ампера dF^ = 12 [d^, B1J . Здесь B1 = ——— - индукция магнитного поля, создаваемого первым проводником в точках, где находится второй

проводник (на рисунке направлена «на нас»). По моду-

dF'-,

¹2 ^dl 2 ^B1^,

так как угол между dl ₂ и B₁ равен

I,

лю

2

^М 0 ^j1^j 2 л/

2n •b ^dl2

_j dl ^М 0¹1 ^12dl2 2тг -b

90°. Тогда dFj

Или

^dF2 ^М 0 ^j1^j 2

- сила, действующая на единицу дли­

F_{2 л<}

^dl2 B₂

2nb

ны проводника. В данном случае это сила, действующая со стороны первого проводника на второй. По третьему закону Ньютона на первый проводник будет действовать

B

^dF1 ^М 0¹1¹2

сила = —dFi, равная по величине

dli

2nb

но противоположная по направлению. С учетом направления сил получаем, что одно­направленные токи притягиваются, разнонаправленные - отталкиваются.

Заодно отметим, что в результате притяжения в магнитном поле, создаваемом движущимися зарядами (токами), плотность тока в центре любого реального (не беско­нечно тонкого) проводника будет несколько больше, чем у поверхности проводника.

Рассмотрим теперь влияние магнитного поля на характер движения в свободном пространстве отдельной заряженной частицы. В магнитном поле на нее будет дейст­вовать сила Лоренца F_M = g[j-, B ] , равная по величине F_M = qVB sin а.

Пусть заряженная частица движется вдоль линий индукции магнитного поля. Тогда угол между векторами скорости V частицы и индукции B будет а = 0 или а = П, в любом случае sin а = 0, и сила Лоренца будет равна нулю. Магнитное поле не будет действовать на частицу. Если другие силы не действуют, то она будет дви­гаться равномерно и прямолинейно.

Пусть теперь частица, имеющая заряд q, движется

п

®в

ерпендикулярно линиям магнитной индукции одно­родного поля. Тогда сила Лоренца будет равна по вели­чине F_M = \q\VB и направлена перпендикулярно векто-

рам V и B . Движение частицы будет происходить в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной ин­дукции, причем сила Лоренца будет обеспечивать цен­тростремительное ускорение. Из второго закона Ньюто­на ma = F получим

mV²

м ■

r

где m - масса частицы, r - радиус кривизны ее траектории. Подставляя силу Лоренца, найдем радиус кривизны траектории

	m	V
r =		• —
	q	B

В однородном стационарном поле ( B = const) величина скорости частицы не будет изменяться, так как сила Лоренца не совершает работу ( Fm ^V ) и поэтому не

изменяет кинетическую энергию, а следовательно, величину скорости. Сила Лоренца изменяет только направление скорости. Поскольку B = const и V = const, радиус кривизны траектории частицы будет постоянным. Частица будет равномерно вра­щаться по окружности с радиусом r .

Период обращения частицы, время ее одного полного оборота, равен

2nr 2п

= V ⁼ B

Период обращения обратно пропорционален произведению индукции магнитного поля на удельный заряд частицы и не зависит от ее скорости.

Т еперь пусть заряженная частица движется в однородном магнитном поле под углом а к вектору индукции B . Разложим вектор скорости V на две составляю­щие V = V + V_l , где V = V cos a - со­ставляющая скорости, параллельная индук­ции B, V₁ = V sin a - составляющая, перпен­дикулярная B .

Ч

r =	m	V±	m	V sin a
	q	B	q	B

астица будет одновременно участво­вать в двух движениях: она будет равномерно вращаться со скоростью Vпо окружности, радиус которой

и двигаться поступательно с постоянной скоростью V | вдоль вектора B (в направле­нии, перпендикулярном плоскости вращения). Поэтому траектория заряженной части­цы будет представлять собой винтовую линию, ось которой параллельна линиям ин­дукции магнитного поля.

Шаг винтовой траектории (расстояние между соседними витками) ра­вен

m	V cosa
q

2п

^h=Vf^T=_B

Если помимо магнитного поля с индукцией B в области движения заряда есть и

электрическое поле с напряженностью E, тогда результирующая сила F, приложен­ная к заряду, будет равна векторной сумме электрической и магнитной сил

F

VB

= qE + q

E

V

B

и характер движения будет зависеть от взаимной ориен­тации векторов V, E и B. В частности, движение мо-

E

жет быть прямолинейным и равномерным, если V = —,

B

а направления векторов V, E и B образуют правую тройку векторов (на рисунке).

Если заряды движутся в жестко закрепленном проводнике, то возникает явле­ние Холла (E. Hall, 1855-1938) - появление поперечного электрического поля в про­воднике с током, помещенном в магнитном поле. Напряженность возникающего элек­трического поля перпендикулярна индукции поля B и плотности тока j . Рассмотрим это явление.

При движении зарядов в проводнике, расположенном в магнитном поле, действие силы Лоренца F_M приведет к перераспределению зарядов. В результате этого в про­воднике возникает электрическое поле, компенсирующее действие магнитного поля, со стороны которого на заряд будет действовать сила Fj. Тогда в стационарных условиях

F_M + Fj = 0 или qE = qVB.

Мы знаем, что j = qnV и I = jS, где n - концентрация зарядов в проводнике,

• - их скорость. Тогда E = B, где S = ad. Электрическое поле будет однород-

qnS

н

d

о при B = const , и разность потенциа­лов между передней и задней сторонами проводника будет равна

А

B

ф = E ■ a. Следовательно,

I о ¹ IB

Аф = - ■ aB = -т.

qnad qn d

Поперечную (холловскую) разность потенциалов принято записывать

IB Аф = R—т d

где B - магнитная индукция, I - сила тока, d - толщина пластины вдоль направле­ния магнитного поля, R = — - постоянная Холла.

qn

Далее перейдем к рассмотрению свойств собственно магнитного поля. Введем несколько важных определений и получим законы, связывающие характеристики маг­нитного поля.

Циркуляция вектора магнитной индукции - интеграл по замк­нутому контуру L проекции вектора магнитной индукции на направление обхода контура

| Bdl = |B_tdl

(L) (L)

где dl - элемент контура, направленный вдоль обхода контура; Bi = B cos a - со­ставляющая вектора B в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), (X - угол между векторами B и dl .

и

. При вы­

бранном контуре и направлении обхода dl ТТ B

2 о^I 2nR

cosa = 1, тогда

Найдем циркуляцию вектора индукции магнитного поля B, создаваемого прямолинейным проводником с то­ком I. В качестве контура выберем окружность радиуса R с центром на проводнике. Обходить контур будем по направлению индукции.

Величина индукции магнитного поля прямолинейного

2 0^I

| Bdl = 2°^ | dl. Так как jdl = 2nR, то j Bd! = цоI. Получив последнее выра-

(L) (L) (L)

проводника на расстоянии R от него B

2nR

жение, мы в частном случае доказали теорему о циркуляции вектора индукции маг­нитного поля.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора B ): циркуляция вектора B по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной цо на алгебраическую сумму то­ков, охватываемых этим контуром

k

L

L

=1

n

где 2 0 - магнитная постоянная, ^ Ik - алгебраическая сумма токов, охватываемых

k =1

контуром.

Заметим, что каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Ток считается положительным, если его направление совпадает с направ­лением поступательного движения правого буравчика при вращении буравчика по на­правлению обхода контура. Противоположно направленный ток считают отрица­тельным. То есть Ii > 0, если i_t ТТ n, Ii < 0 , если i, n n.

Циркуляция вектора B магнитного поля, в отличие от циркуляции электростати­ческого поля, не равна нулю. Такое поле называется вихревым полем, в отличие от потенциального поля, для которого циркуляция всегда равна нулю. Пример потен­циального поля - электростатическое поле, рассмотренное нами ранее, для него

j Ed! = 0.

П

a -

отоком вектора магнитной индукции или магнитным по­током ^d&m сквозь малую площадку dS называется физическая величина, равная произведению площади этой площадки и проекции B_n вектора B на направление нормали n к пло­щадке dS :

d0^ = B„dS = BdS cosa = BdS,

где dS = ndS - вектор нормали к площадке, угол между n и B .

Поток Ф_т через площадку конечных размеров S можно найти, разбив ее на эле­менты dS и сложив потоки dФ через них

Фт = j BndS = j BdS.

(S) (S)

Если поле однородное, а поверхность S плоская, то B_n = Bcosa и Ф_т = BS cos a.

Для магнитного поля, как и для электростатического, можно сформулировать теорему Г аусса.

Теорема Гаусса для магнитного поля: магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

j BdS = j B_ndS = 0.

(S) (S)

Это равенство отражает факт, что для любой замкнутой поверхности, сколько ли­ний индукции входит в нее, столько и выходит. Линии индукции всегда замкнуты и нет магнитных зарядов, на которых они могли бы закончиться или начаться.

Если магнитный поток меняется с течением времени, то возникает явление элек­тромагнитной индукции.

Магнитный поток через контур будет изменяться со временем, если или магнит­ное поле, или площадь контура, или его ориентация зависят от времени, то есть, B = B(t), или S = S(t), или a = a(t), но в чистом виде явление электромагнитной индукции будет лишь при изменении магнитного поля. При изменении площади «натя­нутой» на реальный проводник поверхности или при изменении угла между нормалью к этой поверхности и индукцией магнитного поля происходит перемещение проводни­ка, и движение зарядов по проводнику, возникающее при этом в магнитном поле, вы­звано действием силы Лоренца, а не явлением электромагнитной индукции. Физическое содержание явления электромагнитной индукции заключается в том, что всякое из­меняющееся магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электри­ческое поле Eb . Причем, если в этом поле Eb находится замкнутый проводник, то оно является причиной возникновения индукционного тока в проводнике. Математиче­ски движение зарядов в проводнике при B Ф const, S Ф const и a Ф const описыва­ются одними и теми же выражениями, так что мы будем описывать эти три случая, не­смотря на различную физическую природу, не разделяя. Мы будем рассматривать ча­стный случай я в л е н и я э л е к т р о м а г н и т н о й и н д у к ц и и , заключающийся в том, что в проводящем контуре, поток магнитного поля через который не постоянен, возникает электродвижущая сила индукции S, и электрический ток, называемый индукционным током.

Закон электромагнитной индукции Фарадея (M. Faraday, 1791­1867): ЭДС электромагнитной индукции S, в контуре равна по величине и противопо­ложна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф_т сквозь поверхность, ог­раниченную этим контуром:

с _Ф

^г dt

З нак минус перед про­изводной потока по времени определяется п р а в и л о м Ленца (Э. Х. Ленц, 1804­1865): возникающий индук­ционный ток должен быть направлен так, чтобы соз­даваемое им магнитное по­ле уменьшало изменение магнитного потока.

Заметим, что в отличие от электростатического поля, которое создается не­подвижными зарядами, электрическое поле Ев, созданное изменяющимся магнит­ным полем, не является потенциальным, поскольку циркуляция вектора Ев по лю­бому неподвижному контуру L не равна нулю, а представляет собой ЭДС электро­магнитной индукции

Рассмотрим случай вращения плоского витка в однородном магнитном поле, ко­гда ось вращения лежит в плоскости витка и перпендикулярна вектору магнитной ин­дукции.

П лоскость витка AC и ось его вращения

O перпендикулярны плоскости рисунка. Про- — ведем вектор n , нормальный к плоскости витка, и обозначим через а угол между векторами n —

и B. Выберем начало отсчета времени t так, чтобы при t = 0 угол a = 0. Если угловая ско­рость вращения витка постоянна и равна Ю, то в произвольный момент времени угол a = rot.

Магнитный поток сквозь площадь S, ог­раниченную витком, найдем по формуле

Фт = jB„dS,

( s )

где проекция индукции поля на нормаль B_n = B cos a одинакова на всей поверхности интегрирования S . Поэтому

Ф_т = B cos a j dS = BS cos a = BS cos rot.

(S)

Подставив значение Ф_т в закон электромагнитной индукции, найдем выражение для электродвижущей силы индукции, возникающей в витке,

- d0_m

E_i = -m = BSro sin rot

¹ dt

ЭДС индукции изменяется во времени по гармоническому закону, причем обраща­ется в нуль при а = rot = 0, п, 2п и т. д., то есть когда плоскость рамки перпендику­лярна вектору магнитной индукции B . ЭДС максимальна в те моменты времени, когда плоскость рамки располагается параллельно направлению поля,

^E

^Emax ^BSro

, поэтому

i = ^Emax ^{sin rot}

На рассмотренном принципе работают генераторы электрической энергии, выра­батывающие электрический ток при вращении замкнутых контуров в магнитном поле.

До сих пор мы говорили о проводящем контуре, находящемся во внешнем маг­нитном поле. Если по контуру протекает ток, то контур будет находиться в собствен­ном магнитном поле, и его будет пронизывать собственный магнитный поток. Если ток в контуре не постоянный, то и магнитный поток через контур будет меняться во време­ни. В этом случае возникает явление самоиндукции - появление ЭДС, называе­мой ЭДС самоиндукции, и тока самоиндукции в проводящем контуре при изменении в нем силы протекающего тока. Природа явления самоиндукции понятна - когда по контуру протекает изменяющийся по силе ток, он создает изменяющееся магнитное поле и соответственно контур будет пронизывать непостоянный поток собственного магнитного поля.

С обственный магнитный поток Ф_т, пронизы­вающий контур, пропорционален силе тока I в кон­туре

Ф

LI

„

где коэффициент пропорциональности L называется коэффициентом самоиндукции или ин­дуктивностью контура

Индуктивность контура зависит в вакууме только от геометрических параметров контура, а в общем случае зависит еще от магнитных свойств вещества, в котором на­ходится контур.

Е

Ф

т ■

витки катушки, равен сумме потоков тивность катушки будет равна

пронизывающих каждый виток, и индук-

ЭДС самоиндукции замкнутого проводника может быть найдена из закона Фара- ^d0m

дея E_s = -—, тогда

dt

сли N витков образуют катушку, то суммарный поток, пронизывающий все

где L - индуктивность замкнутого проводника.

Поскольку индукция магнитного поля контура l в любой точке может быть най-

³ Г ТО Г d,^г I

д

, то по определению индуктив-

ена по закону Био-Савара B = I dB = —— Ф -—-—^J

^J 4п ^J _r ³

ности можно записать

dlr

L

3

= т¹ Ф dS Ф 4п L ^Ф _r

(s) (l)

Если магнитные свойства среды не зависят от тока и контур не деформируется, то индуктивность L постоянна.

Рассмотрим длинную катушку (длина которой много больше радиуса) из N вит­ков (соленоид), создающую однородное поле внутри катушки

d N т т N

B = т ₀~j~ I = т ₀ nI, где n = —.

N - витков

N

Тогда Ф_т = тo~j~IS - магнитный поток, пронизывающий один виток и, по определению

NФ

т ^у m

индуктивности L = , индуктивность

I

длинного соленоида

N ² S

^L = ^0

l

Мы рассмотрели влияние собственного магнитного потока на ток в контуре. Но магнитный поток может быть создан током, протекающим в другом контуре. В этом случае, если этот ток не постоянный, возникнет явление взаимной индукции.

В

I,

f-

заимная индукция - возникновение ЭДС в одном из контуров при изменении силы тока в другом.

Р

с

ассмотрим два неподвижных контура, расположен­ных близко друг к другу. Пусть Ij - изменяющийся ток

п

I

4

С

ервого контура, создающий магнитное поле B_i , которое пронизывает второй контур. Поскольку индукция магнит­ного поля пропорциональна силе тока, то и магнитный по­ток, пронизывающий второй контур Ф21, будет пропор-

B

Т

ционален току в первом контуре. где M 21 - коэффициент взаимной индукции.

о есть Ф21 = M211\.

Поскольку Ii Ф const, то во втором контуре возникает ЭДС, которая будет

йФ.

dI₁

21

&

■M.

21

21

dt

dt

ЭДС взаимной индукции

Все то же самое можно сказать и про первый контур. Если ток во втором контуре 12 Ф const, то изменяющийся ток второго контура создает ЭДС взаимной индукции в первом контуре

Коэффициенты взаимной индуктивности контуров равны друг другу

M₁₂ — M₂₁ — M

Взаимная индуктивность двух катушек с числом витков N\ и N2 на общем основании (трансформатор) определяется выражением

Л /Г Л /Г N1 N2 ^

^M12 ^{= M}21 ^— ^ 0 ^S

где l - длина основания по средней линии, S - площадь поперечного сечения основа­ния.

В произвольном случае I1 Ф const, 12 Ф const, в контурах будет возникать и ЭДС взаимной индукции, и ЭДС самоиндукции, тогда суммарная ЭДС будет равна

Ф1 — L111 + ^MI2

и

так как контуры будут пронизывать потоки

^Ф2 ^{— L}2¹2 ^{+ MI}1

Посмотрим, к чему приводит явление электромагнитной индукции.

Для того чтобы создать ток в замкнутом контуре, необходимо совершить работу против ЭДС самоиндукции, которая всегда возникает при подключении контура к ис­точнику.

Н

[L^dt — I LIdl ^LI

айдем энергию этого магнитного поля. Рассмотрим контур, в котором будем увеличивать ток от нуля до некоторой силы тока I . При этом магнитный поток, прони­зывающий контур, будет увеличиваться, и возникнет ЭДС самоиндукции, которая пре­пятствует увеличению тока. Энергия созданного магнитного поля будет равна работе против ЭДС самоиндукции

A — —| &Idt , где & — —L—, тогда A

0. ^d

   2

   t 0 ^dt 0

Полученное выражение определяет энергию магнитного поля, созда­ваемого током силой I, протекающего в замкнутом контуре индуктивностью L

Заметим, что для бесконечной катушки индуктивности (соленоид) магнитное поле сосредоточено внутри катушки. Внутри катушки локализована и энергия магнитного поля, точно так же, как между обкладками конденсатора сосредоточена энергия элек­трического поля. В этом случае можно легко найти объемную плотность

W

энергии магнитного поля w = —, где V - объем области, где сосредоточе-

-2

н

. Так как для катушки индуктивности

2 V

а энергия W магнитного поля. Тогда w

N ² Sj 2

N ² S

N ²1²

и V = Sl, то w =

. Учитывая, что поле внутри

2Sl

l

N

соленоида равно B = т0 ~j~ I, получим выражение для объемной плотности энергии

магнитного поля

Записанное выражение, полученное для частного случая, справедливо для любой области пространства (вакуума), где есть магнитное поле.

Рассмотрим, как влияет явление ин­дукции на процессы в замкнутом проводя­щем контуре при включении и выключении в нем тока. Любая катушка индуктивности имеет электрическое сопротивление. По­этому реальную катушку можно предста­вить в виде последовательно соединенных индуктивности L и резистора R .

Посмотрим, что произойдет, если к ка­тушке подключить источник ЭДС. В мо­мент подключения в катушке начинает течь

ток, и в ней возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая увеличению тока. По мере возрастания силы тока падение напряжения на резисторе увеличивается, а на индук­тивности уменьшается, так как суммарное напряжение равно внешней ЭДС. Ток в цепи постепенно нарастает, приближаясь к максимальному, при котором все напряжение ис­точника оказывается приложенным к резистору.

Найдем зависимость силы тока от времени I (t), используя второе правило

Кирхгофа Z £k = Z I,Rn. в нашем случае правило Кирхгофа будет иметь вид £ — L = IR, так как кроме внешней ЭДС £ в катушке будет ЭДС индукции

L

/YYY^.

R

о-

£

\

о-

d

£

I

L

— j

—. Перепишем равенство dt

L

£

— ₊ RI

dt