Теперь найдем длину волны де Бройля для микрообъекта, в качестве которого

р

9,1 • 10 кг и скоростью V = 10 м / с. Для него

ассмотрим электрон массой m длина волны де Бройля

-34

6

10^-8 м.

к

,6 • 10

9,1 • 10^-31 • 10⁵

Чтобы обнаружить волновые свойства электрона, необходима дифракционная решетка

с периодом решетки d ~10^-10 -10^-! ^ м. Такой дифракционной решеткой может быть любой кристалл и, если электрон действительно обладает волновыми свойствами, то дифракция электронов должна наблюдаться экспериментально.

Решающий эксперимент был проведен К. Дж. Дэвиссоном (C. Davisson, 1881— 1958) и Л. Х. Джермером (L. Germer, 1896-1971), которые в то время занимались ис­следованием дифракции рентгеновских волн, имеющих длину волны такого же поряд­ка, что и дебройлевская волна электрона. Поэтому к ним и обратился А. Эйнштейн за экспериментальным подтверждением гипотезы де Бройля, которую он сразу очень вы­соко оценил. В 1927 году дифракция электронов была обнаружена, и измеренная в экс­периментах Дэвиссона—Джермера длина волны совпала с дебройлевской длиной вол­ны.

Р ассмотрим, каким образом была получена дифракция электронов. В электронной пушке ЭП создавался поток электронов, энергия и скорость которых определялись ускоряющим напряжением внутри пушки. Узкий пучок электронов с заданной скоро­стью направлялся на заземленный монокристалл ни­келя М и отражался от него.

Никелевую мишень можно было вращать во­круг оси, перпендикулярной плоскости рисунка. Подвижный приемник электронов П вращался по изображенной на рисунке дуге вокруг той же оси и регистрировал электроны, рассеянные мишенью в разных направлениях, лежащих в плоскости рисунка. Опыты показали, что интенсивность рассеяния элек­тронов имеет резкие максимумы в некоторых на­правлениях, что является следствием дифракции электронов.

Применяя те же методы, которые они использовали для наблюдения дифракции на монокристалле рентгеновских лучей, Дэвиссон и Джермер экспериментально опре­делили длину волны рассеянных электронов по распределению интенсивности отра­женного монокристаллом электронного пучка.

Вычислим дебройлевскую длину волны электронов в опытах Дэвиссона и Джер- мера. Кинетическая энергия Е_кин электрона зарядом е, прошедшего в ускоряющем его электрическом поле разность потенциалов Дф , будет равна

2

е

Е

кин

Дф.

Т

2еДф

m

огда скорость электронов V

Подставляя ее в выражение для длины волны де Бройля, найдем

X = ^{h h}

^mV ,j2emAty

Подставив численные значения h, e и m, получим окончательное выражение, по которому можно вычислить дебройлевскую длину волны электрона

, 1,225 X = ,— нм.

л/^ЛФ

Экспериментальные значения X, полученные в опытах Дэвиссона и Джермера, находились в полном согласии с вычисленными по полученной формуле.

В том же 1927 году Дж. П. Томсон (сын открывателя электрона как частицы, Дж. Дж. Томсона, автора первой модели атома), используя другую схему эксперимента, также обнаружил дифракцию электронов, еще раз доказав волновую природу электро­на.

Таким образом, гипотеза де Бройля, заключающаяся в утверждении о корпуску­лярно-волновом дуализме вещества, получила экспериментальное подтверждение.

Отметим, что волны де Бройля не являются электромагнитными волнами. Эти волны связаны с движущимися частицами вещества, являются квантовыми по природе и не имеют аналога в классической физике.

Корпускулярно-волновой дуализм материальных объектов вносит существенные ограничения в применение для описания движения объектов понятий координат и им­пульса в классическом смысле. Действительно, как можно говорить, например, о коор­динате волны. Как следует из корпускулярно-волнового дуализма материи, при описа­нии не только света, но и поведения любых объектов, которые мы привыкли считать материальными телами, необходимо применять принцип дополнительности Бора, о котором мы говорили при рассмотрении корпускулярно-волнового дуализма света. Сформулируем его применительно к веществу. Для объяснения данных эксперимента необходимо использовать либо волновые, либо квантовые (корпускулярные) свойства вещества, но не те и другие одновременно. Оба этих способа описания (волновой и квантовый) дополняют друг друга.

Количественно ограничения описания поведения объектов выражаются соотно­шениями неопределенностей Гайзенберга. (W. Heisenberg, 1901-1976) - важными соотношениями, устанавливающими границы волнового и корпускулярного способов описания.

Посмотрим, в чем заключаются эти ограничения.

Допустим, что волна, описывающая частицу, монохроматична, следовательно, ей соответствует точное значение длины волны X, и она имеет бесконечную протяжен­ность. Тогда положение частицы, соответствующей этой волне, абсолютно не опреде­лено.

Если волна немонохроматична, и волновой пакет (цуг) имеет вдоль оси Ох ко­нечные размеры Лх, то есть положение частицы, соответствующей волне, по оси Ох может быть установлено с неопределенностью Лх, то указать длину этой волны мы можем только с некоторой погрешностью ЛХ , поскольку ограниченный волновой им­пульс формируется волнами с длинами волн из диапазона от X — ЛХ до X + ЛХ, где X

• средняя длина волны диапазона.

Допустим теперь, что частица имеет точную координату х, то есть ей соответст­вует волновой импульс бесконечно малой ширины. Тогда входящие в импульс волны будут иметь длины волн, значения которых находятся в диапазоне 0 < к < да.

Это следствия корпускулярно-волнового дуализма материи.

Получается, что, если мы знаем точно импульс частицы р (а значит, длину вол- h

ны к = — ), то есть неопределенность импульса Др = 0, то мы не можем знать, где эта

Р

частица находится, принципиальная неточность определения координаты будет равна

Дх = да

Если мы точно знаем положение частицы X, то есть неопределенность координа­ты Дх = 0, то в принципе мы не можем знать импульс частицы (или длину волны), то есть неопределенность импульса Др = да.

Наиболее полно и точно этот факт был выражен В. Гайзенбергом в соотно­шениях неопределенностей

Обобщая все записанные соотношения, можно сказать, произведение неопределенно­стей значений двух сопряженных переменных, каковыми, в частности, являются коор­дината и проекция импульса на эту же ось, не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка. Это утверждение носит название принципа (соотноше­ния) неопределенностей Гайзенберга. h

• 34

Д

Поскольку — 10

2п

им-

ж • с, то неопределенности Др_х и Дх нахождения

пульса и координаты для макротел оказываются пренебрежимо малыми, много мень­шими экспериментальных погрешностей реальных измерений. Например, для мяча массой m = 0,5 кг, летящего со скоростью V = 30 м / с, которая пусть определена с точностью ДV = 0,1 м / с, неопределенность координаты будет равна

1

1 • 10

2 • 10 ^{- 33} м.

2п mДV 0,5 • 0,1

Это существенно меньше, чем любая разумная погрешность измерения координаты мя­ча. Таким образом, принцип неопределенности позволяет макрообъекты описывать как вполне классические частицы определенных размеров, как мы и поступаем в классиче­ской физике и обыденной жизни.

В то же время для микрообъектов ограничения, устанавливаемые соотношениями

_-31

неопределенностей, весьма существенны. Для электрона массой m = 9,1 • 10 кг, на­ходящегося в атоме размером Дх = 10 ¹⁰ м (порядка Боровского радиуса), неопреде­ленность определения скорости ДУ будет равна

h

Дх > — ■

-34

... h 1 1 • 10“³⁴ __1П6 , 2п ' mbx * io—³⁰ .10—^{10 мс}'

Это сравнимо с самой скоростью электрона, которая на первой орбите в атоме во­дорода равна V * 2 • 10⁶ м / с. Таким образом, принцип неопределенности не позво­ляет описывать микрообъекты как привычные для нас классические частицы.

Микрообъектами являются любые элементарные частицы (электроны, протоны, нейтроны, фотоны и др.), а также сложные частицы, образованные из сравнительно не­большого числа элементарных частиц (молекулы, атомы, ядра атомов и т. п.). Всякий микрообъект представляет собой образование особого рода, сочетающее в себе свойст­ва и частицы, и волны. Он не способен воздействовать на наши органы чувств - ни ви­деть, ни осязать его нельзя. Микротела «не похожи ни на что из того, что нам хоть ко­гда-нибудь приходилось видеть». Сочетая в себе свойства частицы и волны, микротела не ведут себя ни как волны, ни как частицы. Отличие микрочастиц от волны заключа­ется в том, что она всегда обнаруживается как неделимое целое. Никто никогда не на­блюдал, например, половину электрона.

Вернемся к соотношениям неопределенности. Сопряженными переменными так­же являются энергия и время, следовательно, нельзя точно знать энергию микрообъек­та, она будет неопределенной в пределах ЛЕ в течение по меньшей мере времени h

Л? > —— . То есть,

ЛЕ

ЛЕ • Л? >^h. 2п

Это еще одно из соотношений неопределенности Гайзенберга.

Накапливающиеся «нагромождения» физических представлений, которые, может быть, и верно отражали важные, но частные результаты, привели к тому, что в начале 20-х годов многие физики стали все больше осознавать необходимость создания цело­стной и последовательной теории. Практически сразу после появления гипотезы де Бройля о волнах материи, в 1925-27 годах такая теория была создана Вернером Гайзен- бергом и Эрвином Шрёдингером (E. Schrodinger, 1887-1961) - квантовая меха­ника.

Построенная В. Гайзенбергом матричная квантовая теория основана на фор­мальном аппарате математических операторов. Она является инструментом физиков- теоретиков. Мы будем рассматривать более наглядную и не очень формальную волно­вую квантовую теорию Э. Шрёдингера. Эквивалентность обеих теорий была доказана

Э. Шрёдингером. Шрёдингер был осведомлен и о новых веяниях матричной теории, основные идеи которой В. Гайзенберг изложил в 1925 году. Но сложные методы мат­ричной механики и недостаток наглядности не привлекали Шрёдингера. Его на созда­ние квантовой теории вдохновила гипотеза де Бройля, с которой он познакомился в 1925 году.

Шрёдингер, отталкиваясь от закона распространения световой волны в среде с меняющимся показателем преломления, поставил себе задачу получить волновое урав­нение для волны де Бройля. Такое волновое уравнение в 1926 году им было найдено

Лу+(е - и v=0. h

Это было только началом новой теории. Это уравнение теперь носит название стационарного уравнения Шрёдингера.

Как и уравнения движения Ньютона, лежащие в основе классической механики и поэтому не выводимые, уравнение Шрёдингера в квантовой механике постулируется. Справедливость уравнения Шрёдингера доказывается тем, что выводы квантовой ме­ханики, полученные с помощью этого уравнения в атомной и ядерной физике, находят­ся в полном согласии с опытом.

Уравнение Шрёдингера, записанное в самом общем виде, называется неста­ционарное или временное уравнение Шрёдингера и имеет следую­щее выражение:

_h

Здесь h = —— = 1,05 • 10 Дж • с - постоянная Планка, m - масса частицы, 2п

U (х, y, z, t) - потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором частица на­. а² а² а²

ходится, Д = —— Ч — Ч — - оператор Лапласа, который мы использовали при

ах ay az

рассмотрении волнового уравнения, ¥ = ¥(х, y, z, t) - волновая функция частицы, i = л/- 1 - мнимая единица.

Уравнение справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью V << с (с - скорость света в вакууме). В релятивистской области, при V ~ с, вместо уравне­ния Шрёдингера нужно использовать более сложное релятивистское уравнение Дирака, рассмотрение которого выходит за рамки нашего курса.

Уравнение Шрёдингера дополняется важными условиями, которые накладывают­ся на функцию ¥(х, y, z, t), являющуюся решением уравнения: