4. Если часть поверхности закрыта непрозрачным экраном, то закрытые участки не излучают, а открытые излучают так же, как если бы не было экрана.

Принцип Гюйгенса-Френеля положен в основу метода Френеля решения дифракционных задач.

Воспользуемся методом Френеля при рассмотрении дифракции световой волны точечного источника S₀ на круглом отверстии в плоском непрозрачном экране.

Рассмотрим точку P , находящуюся на перпендикуляре к непрозрачному экрану, проходящему через середину отверстия. Радиус сферического волнового фронта, дос­тигшего отверстия, обозначим a. Поверхность вторичных источников S выберем

совпадающей с этим волновым фронтом. Расстояние от точки наблюдения P до по­верхности S обозначим b.

О пишем из точки P, как из центра, концентрические сферы с радиусами

77— 7,-»— Т/^-}— ₀

Ь , Ь + —, Ь + 2—, Ь + 3—,Они разобьют поверхность S на кольцевые области, по­лучившие название зон Френеля . Центральный круг - первая зона Френеля, пер­вое кольцо - вторая зона и т. д.

Подчеркнем две важных особенности примененного метода. Во-первых, мы раз­били волновой фронт на зоны мысленно, увидеть зоны невозможно. Во-вторых, мы построили зоны Френеля для конкретной точки, для другой точки получатся свои зоны Френеля.

h

сегмента.

из

"1 Л²

условия, что

2

- (Ь + h_n) , тогда

Г² = ^{a - (a - h}n⁾² и ^r2 =

у

22 п —

P

- Ь² - 2Ь^ - К

4

или 2(a + Ь)^ = Ьп—. Мы пренебрегли слагае- который много меньше Ьп— и тем бо-

2,2 п —

мым

4

Найдем амплитуду результирующей волны в точке P, исходя из принципа су- перпозиции, который в методе зон Френеля означает суммирование амплитуд волн, приходящих в точку P, от каждой зоны с учетом фаз этих волн.

Определим сначала амплитуду волны, дошедшей в точ- ку P от одной зоны Френеля. По принципу Гюйгенса- Френеля амплитуда волны вторичного источника пропор- циональна площади, следовательно, амплитуда волны от зо- ны Френеля пропорциональна площади зоны Френеля.

Площадь сферического сегмента сферы радиусом а, вырезаемого конусом с вершиной в точке P и образующей,

-

равной Ь + п —, будет равна S_n = 2nah_n, где h_n - «высота»

2^: Найдем

2

Ь + п

a - a + 2ah,„ - h,„ = Ь + Ьп— +

2

v

лее меньше ah_n и Ь^_п. Отсюда

, bnk

h =

ⁿ 2(a + b)'

Подставляя полученное выражение для высоты сегмента, найдем площадь сфе­рического сегмента

_с nabkn ⁿ = a + b

Заодно, из условия r_n = a _ (a _ h_n) * 2ah_n _ h_n , найдем радиус зоны Френеля. Пренебрегая h², так как h_n << a и h^ << 2ah_n, получим r_n = 2ah_n ' Подставляя h_n , найдем

abkn

r

n

a + b

- радиус n - й зоны Френеля.

Вернемся к нахождению площади. Площадь n -й зоны Френеля будет равна

nabkn nabk(n _ 1) nabk

ASn = Sn _ Sn _i

a

a + b

a+b

+ b

Откуда следует, что все зоны Френеля имеют одинаковую площадь, то есть, . nabk

AS„ = = const - не зависит от номера зоны n '

ⁿ a + b

На самом деле, при более точном вычислении, если бы мы не пренебрегали сла­гаемыми, то мы бы получили, что площади зон немного убывают с увеличением номе­ра зоны. Кроме того, амплитуда световой волны зоны Френеля пропорциональна функ­ции угла f (a), убывающей с ростом угла, который увеличивается с номером зоны. Указанные факторы, вместе с увеличением расстояния r от зоны до точки наблюдения с номером зоны Френеля, приводят к тому, что суммарная амплитуда волн каждой зо­ны Френеля медленно и монотонно убывает с ростом номера зоны n

E > Е₂ > Е₃ > '" ,

где Ei - величина суммарной амплитуды световых волн, дошедших в точку P из пер­вой зоны, E₂ - из второй, E₃ - из третьей зоны и т. д.

Из монотонности убывания мы можем выразить амплитуду волны, приходящей

о

^Ек _1 + ^Ек+1 2

Е_ь

т зоны с номером к, через амплитуды соседних зон

^Е

0'

к 1 ^Ек+1

Отсюда получаем, что —z + Е +

2 ' ~^к ' 2

В силу построения зон Френеля волны, приходящие из соседних зон, будут в противофазе, поскольку в каждых соседних зонах можно выделить пары эквивалент-

к

ных вторичных источников с разностью хода между ними, равной —. Тогда с учетом фаз суммарная амплитуда будет равна

Е = Е1 _ Е₂ + Е3 _ Е 4 +...,

где Ei - суммарная амплитуда световых волн, дошедших в точку P из первой зоны, ( — E2 ) - из второй, E3 - из третьей зоны и т. д. Или

E

Z7 El

^E=т+

3

+

+...

^E — E₂ + о ,2 ² 2 v ^{2 2} у

\

^rE3 E^

,~2 ^{— E}4 + ~2 ,

v ^{2 2} у

Здесь, как мы отметили ранее, все выражения в скобках будут равны нулю.

И

E = El 2

з последнего выражения мы получаем, что если открыты все зоны - это будет

п

1 ьГ| II	tf -L	В
2	2

ри отсутствии препятствии, то

Если открыто m зон и, если m = 2k + 1 нечетно, то

жении для амплитуды суммарной волны останутся половины амплитуд волн от первой и последней зоны.

E (E ^Л

^Jm—1

Если число открытых зон m = 2k четно, то ^E=т+

E

m

2

V

У

_{E =} EL ^Em

E

E

m—1

m

Поскольку можем считать, что E_m —

то

2 2

2

2

Таким образом, мы получили, что результат суперпозиции волн вторичных ис­точников в точке P зависит от того, четный или нечетный номер имеет последняя зона Френеля, открываемая отверстием.

Если открыто нечетное число зон, в точке наблюдения будет максимальная ин­тенсивность света, складываются амплитуды первой и последней зоны - точка P бу­дет светлой. Точка будет самой светлой, если открыта одна зона Френеля ( m = 1).

Если открыто четное число зон, то интенсивность света в точке P будет мини­мальной, амплитуды первой и последней зон вычитаются - точка наблюдения будет темной.

Самая темная точка будет, если открыты две зоны ( m = 2).

До сих пор мы рассматривали точку наблюдения, находящуюся на перпендикуля­ре к непрозрачному экрану, проходящему через центр отверстия.

Если мы сместимся в точку наблюдения Р', то для нахождения амплитуды сум­марной волны нужно также построить зоны Френеля, но уже для точки P'. Зоны Фре­неля для этой точки будут смещены относительно центра отверстия. Мы рассмотрим эту ситуацию, только качественно.

Д ля точки Р' в нижней части отвер­стия откроется часть зоны Френеля, закры­той для точки P , но при этом непрозрачный экран закроет вверху часть зоны, открытой для точки P .

Допустим, что для точки P открыто нечетное число зон, тогда амплитуда волны в точке P будет E = Ei — E2 + E3 —... + E_m.

В точке P' амплитуда волны будет

.

Е'

'^Е1 ^-Е2 + ^Е3

..+аЕ_т -PE_m+j, где 0 < а < 1 и 0 < в < 1, тогда E' < E, и точка

P' будет темнее, чем P .

Е

Е„

сли для точки P открыто четное число зон, то Е = Ei - Е2 + Е3 Тогда Е' = Ei - Е2 +... - аЕ_т + вЕ_т+1, где 0 < а, в < 1, следовательно, Е' > Е, и тогда Р' будет светлее точки P .

В точках за отверстием интен­сивность света будет определяться структурой открытых зон Френеля. На экране, находящемся за отверсти-

О ем, будут симметрично расположены

S более светлые и более темные облас­

ти. Схематично распределение интен­сивности света на экране за отверсти­ем представлено на рисунке.

Интенсивность света в точке наблюдения можно значительно усилить, закрыв все четные или все нечетные зоны Френеля. На этом основано действие амплитудной зон­ной пластинки.

А

О

мплитудная зонная пластина пред­ставляет собой пластину, в которой вырезаны про­зрачные кольца, закрывающие только четные или толь­ко нечетные зоны Френеля для некоторой точки P.

Тогда, в точке P амплитуда будет равна E = Е₂ + E4 + Еб + ... (открыты четные зоны),

(открыты нечетные зоны) и бу-

E = E_x + E₃ + E₅ +.

дет во много раз превышать амплитуду первой зоны E₁ г Е₁

а

и

мплитуду волн всех зон Е = —^. Заметим, что увеличение освещенности будет

только в точке P, другие точки будут сильно затемнены - фокусирующее действие зонной пластинки. Полный световой поток не усиливается, а только перераспределя­ется.

Е сли мы будем не закрывать четные или нечетные зоны, а менять фазу волн, идущих от соседних зон на П, то мы полу­чим фазовую зонную пластинку, принцип действия которой основан на переворачивании фаз для соседних зон.

Проще всего это сделать, обеспечив, чтобы волны от со­седних зон проходили дополнительную разность хода, равную

—

—. Тогда амплитуда волны в точке наблюдения будет

Е = Ei + Е2 + Е3 +... в два раза больше, чем для амплитуд­ной зонной пластинки, а интенсивность света будет в четыре

раза больше, так как I ~ ^Е

Мы рассмотрели дифракцию на круглом отверстии. Если отверстие не круглое (прямоугольное или щель), то метод Френеля применим, но разбивать волной фронт на кольца нецелесообразно. Метод Френеля применим также и в случае, если первичный

источник не точечный, только в этом случае волновой фронт не будет сферическим, а будет определяться формой источника. Если волна не сферическая, а плоская, то есте­ственнее разбить волновой фронт на прямолинейные полосы. Остальной анализ остает­ся без изменений.

Рассмотренная дифракция, когда все вторичные волны сходились в точке наблю- дения называется дифракцией Френеля или дифракцией в сходящихся лучах.

Немецкий физик Йозеф Фраунгофер (J. Fraunhofer, 1787-1826) рассмотрел ди- фракцию плоских световых волн, или дифракцию в параллельных лучах, которая получила название дифракции Фраунгофера .

Дифракция Фраунгофера наблюдается, когда источник и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызывающего дифракцию.

Дифракционная задача Фраунгофера может быть решена строго, но условия мак- симумов и минимумов дифракционной картины можно получить, пользуясь методом Френеля.

Рассмотрим плоскую волну, на пути которой установим бесконечно протяженную щель, шириной b . На рисунке щель расположена перпендикулярно плоскости рисунка. Для наблюдения дифракционной

картины на экране, расположен- ном на конечном расстоянии, ме- жду препятствием и экраном по- местим фокусирующую линзу, а экран установим в фокальной плоскости линзы.

Применим метод Френеля.

Для волн, распространяющихся под углом а к первоначальному (до щели) направлению, разобьем волновой фронт плоской волны, достигший щели, по ширине ще- ли b на зоны Френеля. Получен- ные зоны представляют собой

полосы, параллельные щели. Число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели, зависит от угла а, под которым наблюдаем дифракцию. При а = 0 щель открывает только часть первой зоны. При а > 0 число зон N определяется выражением

лД , • л г 2b sin а

N — = b sin а, или N = — ,

2 —<

где b - ширина щели. На рисунке получилось три полосы (зоны Френеля).

Результат наложения всех вторичных волн в точке наблюдения на экране зависит от числа зон, открываемых щелью. По определению зон Френеля разность хода от кра- —

ев зон равна —. Следовательно, волны, приходящие от соседних зон, будут в противо-

фазе, и, поскольку пощади полос (зон) Френеля одинаковы, они будут гасить друг друга.

Если число зон четно

2b sin а

b sin а

—

2m

N

или

где m — ±1, ±2, ±3... , то на экране в точке схождения (после линзы) волн, идущих от щели под углом а , будет дифракционный минимум (темная полоса на экране).

Если число зон, укладывающихся на ширине щели, нечетное,

X

b sin а = (2m +1)—

2b sin а

X

2m +1 или

N

то в точке схождения лучей будет дифракционный максимум (светлая полоса на эк­ране). При а = 0 разность хода всех вторичных источников равна нулю (все они из одной первой зоны) и под этим углом всегда наблюдается центральный дифракцион­ный максимум - наиболее светлая область.

При точном решении щель разбивается на бесконечное число бесконечно узких полосок. Результирующее колебание световой волны в точке экрана будет равно сумме колебаний всех вторичных источников, которое при бесконечно большом числе беско­нечно малых слагаемых является интегралом

E = J dE,

который с учетом сдвига фаз, между волнами вторичных источников, идущими под уг­лом а, примет вид

b

_Е= ^{2 E}0^dx

_ъ_

2

2п

cos ($t - — x sm а V ^X У

b

где x - координата вторичного источника (полоски шириной dx ), измеренная от цен­тра щели.

nb sin а

sin nb

X

П

. И для интенсивности так

осле интегрирования получим E = Ео

nb sin а

. 2 nb sin а sin J - J X
± -±0	' nb sin ал V X У	2

X

I ~ A

как

2

m

nb sin а

X

При

n интенсивность равна нулю. Другими словами, мы получили

условие минимумов дифракции

b sin а = mX

при котором интенсивность света равна нулю. Это условие, естественно, точно такое же, как полученное с помощью метода Френеля.

Для нахождения максимумов интенсивности приравняем производную от интен-

dl

сивности по углу к нулю, —— = 0. Решая уравнение, получим условие максимумов

da

nb sin a nb sin a

г

tg

де m = +1, + 2,... . Записанное трансцендентное уравнение не

• -

и меет точного решения, приближенное решение этого уравнения имеет вид, близкий к найденному приближенным методом Френеля,

условие максимумов дифракции.

П оскольку sin a не может быть больше единицы, sin a < 1, то существует наи­больший порядок (номер) m_max

максимума, который будет на­блюдаться. Его можно найти из

( 1 ^ - условия sin a = m +

<

b

1.

2

b 1

m < ,

X 2'

экран

Откуда

тогда

'Ь _ 1 - 2

максимумов, которые могут наблюдаться, равно веден случай m_max = 2 и k_max = 5.

b

Если ширина щели b < —, тогда m_max < — < 1 и будет один центральный макси­—

мум. При b << —, экран за щелью будет практически равномерно освещен. И чем меньше ширина щели, тем равномернее будет освещенность экрана.

Если на щель падает не монохроматический, а белый свет, то для разных длин волн будут наблюдаться максимумы при разных углах a—, кроме a = 0, который со­ответствует максимуму для волны с любой длиной волны. Таким образом, все дифрак­ционные максимумы, кроме центральной полосы, будут окрашены.

Если щель не одна, а N щелей, и они периодически расположены на расстоянии d друг от друга, то такая система щелей называется дифракционной решеткой. Рас­пределение света на экране, расположенном за дифракционной решеткой, получается в результате интерференции N дифракционных потоков света, идущих от каждой щели.

Дифракционная решетка - ^

периодически расположенный набор щелей.

Величина d = a + b - называется про­странственным периодом или постоянной дифракционной решетки.

. Здесь прямые скобки [ ] означают взятие целой части. Количество

= 2m_max +1. На рисунке при-

m =

max

max

a

d

Изобретателем первой дифрак­ционной решетки некоторые иссле­дователи считают Фраунгофера. Рас­смотрим дифракцию Фраунгофера на дифракционной решетке.

Р азность хода световых волн, исходящих от одинаковых точек со­седних щелей, будет равна А = d sin a. Когда А = mk, свето­вые волны, идущие от соседних ще­лей, при интерференции будут усили-

г

экран

1 ^

вать друг друга, а при А = m + — к

2

V

• ослаблять. Помимо этого, свет будет усиливаться или ослабляться, когда будут вы­полняться условия максимумов или минимумов для несоседних щелей.

Естественно, что в тех направлениях, в которых не распространяется свет ни од­ной щелью, он не будет распространяться и N щелями - это главные (дифракцион­ные) минимумы интенсивности света

^п +1, ± 2, ± 3,...

b

m ■■

sin a = mk

Минимумы света будут также в тех направлениях, в которых световые волны от разных щелей будут гасить друг друга - дополнительные (интерференционные) ми­нимумы. Для N = 2 условие дополнительных минимумов будет иметь вид

^Г 1 ^

к, m = 0, ± 1, ± 2,...

d

m +- V ² У

sin a

Для N > 2 условие дополнительных минимумов запишем чуть позже.

В направлениях, в которых свет от щелей при интерференции будет усиливать друг друга, будут наблюдаться главные (интерференционные) максимумы. При лю­бом N условие главных максимумов будет определяться выражением

dsin a = mk\, m = 0, ± 1, ± 2...

При N = 2 других максимумов не будет, а при N > 2 появятся дополнительные максимумы.

Все эти условия можно получить и при точном решении задачи дифракции Фра­унгофера на дифракционной решетке. Выражение для интенсивности света, прошедше­го дифракционную решетку, будет иметь вид

дифракционный

сомножитель

интерференционный

сомножитель

Из точного решения задачи дифракции Фраунгофера можно легко получить усло­вие наблюдения дополнительных минимумов для произвольного числа щелей.

Числитель первого (дифракционного) сомножителя обращается в ноль, и интен­сивность I равна нулю, при

- условие главных минимумов.

nd sin а

Когда = шп, выполняется условие главных максимумов

к

При этом и числитель, и знаменатель второго (интерференционного) сомножителя об­ращается в ноль, а сам сомножитель становится равным единице.

Nnd sin а

где m = 1,2,...,N — 1 , числитель

к

интерференционного сомножителя будет равен нулю, а знаменатель будет отличен от нуля. Следовательно, при этом условии I = 0. Таких дополнительных минимумов будет N — 1.

Между дополнительными минимумами будут N — 2 дополнительных макси- мума.

В результате дифракционная картина, например, для 4-х щелей, будет выглядеть

так, как изображено на рисунке.

Если N велико, между узкими главными максимумами будет прак­тически темная область.

Если на дифракционную решет­ку падает белый свет, то для каждой длины волны будут наблюдаться мак­симумы под разными углами, так как угол, под которым наблюдается мак­симум, зависит от длины волны.

Дифракционная решетка рас­кладывает белый свет в спектр и дает возможность пространственно выде­лять в спектре монохроматические волны.

белый свет

Как мы отмечали в начале рассмотрения темы, задача распространения световой волны в среде с неоднородностями может быть решена на основании уравнений Мак­свелла. Общее решение в этом случае при точном решении задачи записывается в инте­гральном виде. Для получения аналитического решения необходимо использовать при-

b sin а = шк

d sin а = шк

ш

d sin а = — к

N

Когда

= ШП или

Дифракционная

решетка

К - красный свет, Ф - фиолетовый свет.

ближения, которые будут различными, в зависимости от значения волнового пара-

xz . „

метра ——, где А - длина волны, d - характерный размер отверстия в непрозрачном d ²

экране (например, диаметр круглого отверстия или ширина щели), Z - характерное расстояние от отверстия до точки наблюдения, где определяется интенсивность волны. Задача естественным образом может быть разделена на три задачи, имеющие качест­венно различные решения.

AZ ry d¹

В области за экраном с отверстием, где —— << 1, то есть Z << ^— наличие эк-

d ^А рана не влияет на распространение световой волны, и решением будет являться пря­молинейное распространение света. Заметим, что в этом случае отверстие открывает для рассматриваемой точки наблюдения очень много зон Френеля.

AZ ry d²

В области за экраном, где —— >> 1, или Z >> ^—, задача сводится к случаю, ко-

d ^А гда отверстие открывает часть одной (первой) зоны Френеля. При этом распределение интенсивности будет соответствовать дифракции Фраунгофера.

AZ _л _ d²

В области, где —— * 1, или Z * ——-, отверстие будет открывать несколько зон d^{2 А}

Френеля, и распределение интенсивности будет описываться дифракцией Френеля.

_7

Для световых волн видимого диапазона X ~ 10 м, если взять в качестве отвер-

_d2

стия окно d ~ 1 м, то 10 м = 10 км. Следовательно, например, при

X

Z * 10 км << 10⁴ км будут справедливы законы геометрической оптики. Но на Луне

(Z * 10⁵ км), если бы это было возможно, мы бы наблюдали отклонение от прямоли­нейного распространения (дифракцию) при прохождении света через окно.

В диапазоне радиоволн, допустим при X = 0,01 м, для того же размера отверстия _d ²

d ~1 м получим 100 м = 0,1 км . То есть, в области на расстоянии более ста

X

метров от метрового препятствия при распространении радиоволн рассматриваемого диапазона будет заметно сказываться дифракция, и волны в этой области будут огибать препятствия такого размера. В области Z * 10 км, рассмотренной в примере световых волн, для рассматриваемых радиоволн будет наблюдаться дифракция Фраунгофера.