Арнольд.

Прежде всего отметим, что геометрическую прямую мы считаем плотной, т.е. считаем, что две различных её точки всегда ограничивают некоторый отрезок, состоящий из бесчисленного множества точек, промежуточных между данными.

Это представление о плотности совокупности точек геометрической прямо й выражает, другими словами, невозможность существования двух соседних, находящихся непосредственно рядом друг с другом, но различных между собой точек.

Однако свойство плотности, как только что было отмечено, присуще и совокупности рациональных чисел и не в нём, следовательно, отличие непрерывной прямой от прямой с «пустыми местами».

Проведём анализ:

Допустим, мы закрашиваем точки геометрической прямой в два цвета – красный и зелёный – так, чтобы: 1) все точки оказались закрашенными: каждая в один и только один цвет и 2) все красные точки были расположены слева от всех зелёных. Если красные точки закрашивать движением кисти слева направо, а зелёные – справа налево, то такое встречное наслоение точек слева и справа мы воспринимаем как приближение к какому-то месту стыка обоих цветов на прямой.

Если мы представляем себе прямую непрерывной, сплошь заполненной точками, то это значит, что в месте смыкания цветов должна быть какая-то точка прямой.

Эту точку можно было бы оставить незакрашенной и тогда она как раз и разграничивала бы красные и зелёные точки; если же потребовать, чтобы все без исключения точки прямой были закрашены, то эта точка должна быть либо последней (крайней правой) красной, либо первой _­­­­­­­(крайней левой) зелёной.

Какие случаи мы исключаем с помощью этой формулировки?

Во-первых, могло бы случиться, что одновременно существуют и последняя красная и первая зелёная точки. Однако, согласно отмеченному выше свойству плотности, это означало бы, что промежуток между этими двумя (различными) точками остался бы незакрашенным. Такая картина возможна лишь для прямой, из которой вырван целый интервал промежуточных точек.

Во-вторых, могло бы случиться, что нет ни последней красной, ни первой зелёной. Такая картина возможна для прямой, из которой выброшен либо целый отрезок, включая концы, либо по крайней мере одна точка, как раз та, о которой шла речь выше как о месте стыка обоих цветов.

Мы приходим к заключению, что нашим представлениям о сплошном заполнении геометрической прямой точками соответствуют лишь случаи существования крайней точки в одном и только одном из двух рассматриваемых классов точек – в левом классе красных или правом классе – зелёных точек.

Следуя Дедекинду определение:

Определение 1. Сечением (A, A’) системы точек на прямой линии называется такое разбиение всех точек системы на два класса нижний (левый) А и верхний (правый) А’, при котором

1. Каждая точка системы отнесена к одному и только одному классу и

2. Все точки нижнего класса А расположены слева от точек верхнего класса А’.

Теорема о существовании решения дифференциального уравнения. Алгоритмы для его приближенного решения.

Чаще всего доказательство теорем существования решения одновременно дает и метод точного или приближенного нахождения решения, что еще больше увеличивает значение теорем существования.

Перейдем теперь к рассмотрению соответствующих теорем для общей начальной задачи

(1) dy/dx = f(x,y), y(x₀) = y₀

при достаточно общих условиях на функцию f(x,y). При этом с доказательством существования решения задачи будет дан алгоритм построения функции y(x), сколь угодно точно аппроксимирующей решение исходной задачи. Идея этого метода принадлежит Эйлеру. Метод состоит в том, что интегральная кривая, являющаяся решением задачи и проходящая через точку (x0,y0), последовательными шагами приближенно заменяется некоторой ломаной – ломаной Эйлера. Эта ломанная состоит из прямолинейных отрезков и каждое звено ломанной касается интегральной кривой в одной из своих граничных точек. При применении этого метода для приближенного вычисления значения искомого решения y(x) в точке x=b, отрезок x0 x b (если b>x0) делится на n равных частей точками x0, x1,x2 ….Xn-1, Xn, где Xn=b. Длина каждой части Xi+1 – Xi=h называется шагом вычисления.

Пусть дано дифференциальное уравнение

(2) y’ = f(x,y).

область задания функции f(x,y) назовем G. Как мы уже знаем, уравнение (2) определяет в G поле направлений, которые должны иметь интегральные линии.

Возьмем в области G какую-нибудь точку (x₀,y₀). Ей будет соответствовать проходящая через эту точку прямая с угловым коэффициентом f(x₀,y₀). На этой прямой в области G возьмем точку (x₁,y₁) (на рис.1 обозначена цифрой 2). Затем на прямой, соответствующей точке (x₂, y₂), отмечаем точку (x₃, y₃) и т.д. Пусть при этом x₀<x₁<x₂<x₃… (это построение можно выполнять и в сторону убывающих значений x). Получим ломаные линии, которые называют ломаными Эйлера. Естественно ожидать, что каждая из ломаных Эйлера с достаточно короткими звеньями дает некоторое представление об интегральной кривой, проходящей через точку (x₀,y₀), что при уменьшении длин звеньев ломаные Эйлера приближаются к этой интегральной кривой; при этом предполагается, что такая интегральная кривая существует. В самом деле, ниже мы покажем, что при непрерывности f(x,y) можно выбрать такую последовательность ломаных Эйлера, которая будет сходиться к интегральной кривой.