Обработка результатов множественных измерений

Существует 2 постановки задачи:

1) измеряемая величина неизменна, а множество различных результатов измерений вызвано наличием у инструмента заметных случайных погрешностей. Здесь решается вопрос о том, что принять за искомое измеренное значение и как оценить суммарную погрешность результата;

2) сама измеряемая величина случайна, решается вопрос об оценке математического ожидания этой случайно величины и оценке ее среднеквадратичного отклонения.

Рассмотрим подробнее 1-й случай: имеется ряд измерений x₁…x_n, полученных 1-м прибором при измерении одной физической величины x. Прибор имеет только случайную погрешность. В этом случае, результатом измерения следует считать среднеарифметическое значение всех исходных значений:

Если систематической погрешностью Δ_с нельзя пренебречь, ее значение известно, то необходимо скорректировать полученный результат на данную величину. Мерой достоверности найденной оценки x^* служит оценка среднеквадратичного отклонения:

Обработка результатов косвенных измерений

Возможны 2 подхода: детерминированный и вероятностный.

1. Детерминированный. Допущения:

1) инструменты исправные, имеют реальные погрешности, погрешности только систематически, случайных нет;

2) исходные измеряемые величины характеризуются неизменными значениями основных параметров;

3) условия работы нормальные или рабочие;

4) оператор имеет достаточную квалификацию;

5) функциональная зависимость Y от исходных величин x_i известна достаточно точно.

Если интересующая величина Y связана с исходными величинами x_i известной функциональной зависимостью Y = f(x₁, x₂,…, x_n) и предварительные значения абсолютной погрешности Δ_i определения x_i известны, то предварительное значение абсолютной погрешности Δy результата измерения искомой величины Y в общем случае можно определить по т.н. формуле накопления частных погрешностей:

где ∂F/∂x_i – частные производные функционала F по каждой исходной величине x_i в точках, соответствующих найденным значениям величин x_i.

Δ_i – предварительные значения абсолютных погрешностей определения значений величин x_i.

Рассмотрим 2 частных случая:

1) функционал вида сумма:

где a_i – коэффициенты функциональной зависимости, то предельное значение абсолютной погрешности Δy:

Относительная погрешность: δy = Δy/Y∙100 %.

2) функционал вида произведения:

где a_i – коэффициенты показателя степени исходных величин x_i. Предельное значение относительной погрешности:

Тогда: Δy = δy∙Y/100 %.

2. Вероятностный подход. Допущения:

1) инструменты исправны, имеют погрешность, соответствующую свои классам точности, погрешности случайны, известны их математические ожидания и среднеквадратичные отклонения;

2) исходные измеряемые величины случайны, характеризуются неизменными значениями математических ожиданий и среднеквадратичных отклонений;

3) условия работы нормальные или рабочие;

4) оператор имеет достаточную квалификацию;

5) функциональная зависимость искомой величины Y от величины x_i известна достаточно точно.

Если интересующая величина Y связана с исходными величинами x_i известной функциональной зависимостью Y = f(x₁, x₂,…, x_n), где x₁, x₂, …, x_n – случайные с известными математическими ожиданиями m₁, m₂, …, m_n и среднеквадратичными отклонениями σ₁, σ₂, …, σ_n, то:

- искомая величина Y также случайна;

- можно оценить значение математического ожидания m_y и СКО σ_y:

m_y = F(m₁, m₂, …, m_n);

где ∂F/∂x_i – частные производные функционала F по каждой исходной величине x_i в точках, ссответствующих из математическищих из математическоеличине ниями иями еличины\еризуются неизменными значениями математических ожиданий и среднеквадратичных отм ожиданиям m_i;

σ_i – СКО величин x_i.

Зная закон распределения исходных величин или предполагая его нормальным, можно, задаваясь определенным значением доверительной вероятности, оценить предельное значение.