Теоремы затухания, дифференцирования по параметру, подобия и затухания.
Определение.
Пусть функция f (x,
)
двух переменных определена для всех
значений х в промежутке [a, b] и всех
значений
во множестве
и
при каждом постоянном значении
из
функция f (x,
)
интегрируема в промежутке [a, b] в
собственном или несобственном смысле.
Тогда интеграл
(72)
является функцией переменной или параметра и называется интегралом, зависящим от параметра.
Основные свойства интеграла, зависящего от параметра:
Теорема 1. Если функция f(x, ) определена и непрерывна как функция от двух переменных в прямоугольнике [a, b, c, d], то интеграл (72) будет непрерывной функцией от параметра l в промежутке [c, d].
Дифференцирование по параметру под знаком интеграла.
Теорема
2. Пусть функция f(x,
)
и частная производная
непрерывны в прямоугольнике
.
В этом случае существует производная
,
которая определяется по формуле
(73)
Интегрирование по параметру под знаком интеграла.
Теорема 3. Если функция f(x, ) непрерывна по переменным х и в прямоугольнике , то имеет место следующая формула:
(77)
В формуле (77) пределы интегрирования a и b не зависят от параметра .