Завдання № 5

Розв’язати задачу Коші для неоднорідної системи :

а) на основі загального розв’язку;

1.5 Приклади розв’язання завдань Завдання №1

Проінтегрувати рівняння

Розв’язуємо рівняння відносно першої похідної і визначаємо тип рівняння (тобто одержуємо рівняння вигляду (1.2) за прикладом 1.5.1 або вигляду (1.4) за прикладом 1.5.2)

Завдання №2

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

Це лінійне неоднорідне рівняння (1.7) з .

Нехай Для u маємо ДР з відокремлюваними змінними

Знайдемо його розв’язок :

Для v(x) одержуємо

Загальний розв’язок ДР (1.18) має вигляд

Завдання №3

Проінтегрувати ДР

Визначаємо заміну з допомогою якої диференціалне рівняння приводиться до рівняння першого порядку. Для чого визначаємо: яка змінна ( або ) в явному вигляді не міститься в рівнянні. Якщо рівняння не містить , то за прикладом 2.1.1 маємо . Якщо ж рівняння не містить , то , за прикладом 2.1.2. Далі одержуємо

Завдання №4

Дано лінійне неоднорідне диференційне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

і початкові умови .

Розв’язати задачу Коші:

а) на основі загального розв’язку;

в) написати загальний вигляд для і .

тобто

2. 

3. 

4. 

1. В першому варіанті наше рівняння має вигляд

а) знайдемо розв’язок задачі Коші на основі загального розв’язку.

,

де - загальний розв’язок однорідного рівняння

Складемо характеристичне рівняння:

- тому загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд:

Тепер знайдемо частинний розв’язок .

Права частина має спеціальний вигляд:

де

Перевіримо чи буде коренем характеристичного рівняння:

кількість коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють а. Тому шукаємо у вигляді:

=

Далі за прикладом 2.4.1 маємо

Після в ЛНДР маємо:

Загальний розв’язок має вигляд:

Тепер відшукаємо частинний розв’язок, враховуючи початкові дані: .

Спочатку знайдемо

Отримали систему для визначення сталих С₁ і С₂, знайдемо її розв’язок:

Розв’язок задачі Коші має вигляд:

2) В другому варіанті маємо задачу Коші

Аналогічно попередньому прикладу будемо шукати розв’язок у вигляді і для маємо , як і раніше

=

Знайдемо . За прикладом 2.4.1(2) Права частина має спеціальний вигляд

де

- кількість коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють а. Тому шукаємо у вигляді

= ,

3. В третьому варіанті маємо ЛНДР

За прикладом 2.4.1(3) шукаємо у вигляді: