РоБочий зошит

Завдання 1. Обчислити , використовуючи правило диференціювання складної функції, якщо , ,

Розв‘язок. Обчислимо похідні:

За формулою (2) знаходимо

Завдання 2. Використовуючи правило диференціювання складної функції, знайти та , якщо , де , .

Розв‘язок. Обчислимо частинні похідні:

За формулами (3) знаходимо

Завдання 3. Поверхню S задано рівнянням . Потрібно пересвідчитися, що точка , та знайти нормальний вектор до поверхні S в точці M, що утворює гострый кут з оссю Oz. Написати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні S в точці M.

Розв‘язок. Перевіремо, що точка належить поверхні S. Для цього підставимо координати точки М до рівняння поверхні:

Знайдемо нормальний вектор до поверхні S в точці М. Для цього обчислимо такі частинні похідні та їх значення в точці М:

Отже нормальний вектор до поверхні S в точці М має координати

Для того, щоб вектор утворював гострий кут з віссю OZ необхідно, щоб третя координата цього вектора була додатня, отже якщо це не так, треба помножити одержаний вектор на коефіцієнт (-1).

За формулою (13) запишемо рівняння дотичної площіни до поверхні S в точці М

За формулою (12) запишемо рівняння нормалі до поверхні S в точці М

;

Завдання 4. Задано скалярне поле та напрямок :

а) Знайти повний диференціал та похідну за напрямком в точці М( ; ; ).

б) Знайти частинні похідні другого порядку , , від функції , а також мішану похідну вказану у таблиці .

Розв‘язок. а)Знайдемо частинні похідні функції

За формулою (7) градієнт функції

обчислимо значення градієнта функції в точці М .

За формулою (1) повний диференціал

його значення в точці М

Для знаходження похідної за напрямком, знайдемо довжину вектора

Далі за формулами (6) напрямні косинуси вектора

, ,

За формулою (5) похідна за напрямком дорівнює:

її значення в точці М

б) Знайдемо похідні другого порядку , , від функції

а також мішану похідну вказану у таблиці

Завдання 5. Дослідити функцію на екстремуми та обчислити экстремальні значення.

Розв‘язок. Знайдемо стаціонарні точки, для цього обчислимо частинні похідні

прирівняємо ці похідні до нуля та розв‘яжемо систему ;

Перевіремо чи набуває функціяє в отриманих стаціонарних точках екстремумів. Для цього обчислемо другі частинні похідні:

Обчислемо значення цих похідних ( ; ; ) в кожній стаціонарній точці окремо, після цього знайдемо значення визначника

Завдання 6. Задано таблицю

	1	2	3	4	5

Потрібно знайти за допомогою метода найменьших квадратів рівняння лінійной залежності . Представити експерементальні данні та шукану лінію на малюнку

Р озв‘язок. За формулами (15) знаходимо

,

Далі з системи (16): , знаходимо та :

Таким чином, шукана залежність має вигляд . Представимо знайдену лінійну залежність і експерементальні дані на малюнку