Частинні похідні вищих порядків

Розглянемо функцію . Її частинні похідні й самі є функціями двох змінних.

Частинні похідні від частинних похідних називаються частинними похідними другого порядку. Функція двох змінних має, таким чином, чотири частинні похідні другого порядку:

Приклад 7.

Частинні похідні та (вони називаються змішаними похідними) виявилися рівні, що відбулося зовсім не випадково.

ТЕОРЕМА. Якщо функція , її перші похідні , та змішані похідні та нерервні в деякій області, то змішані похідні та в цій області рівні .

Наслідок. Результат повторного диференціювання не залежить від порядку диференціювання (наприклад ), якщо всі виникаючі при обчисленнях похідні неперервні.

П Мал. 2 охідна за напрямком

Нехай z=f(P) – функція двох змінних, що диференціюється в околі точки , – вектор, що задає деякий напрямок, – точка на цьому напрямку (така, що вектор колінеарний вектору (мал.2)). Очевидно, що де , а – направляючі косинуси вектора, тобто косинуси кутів між вектором і осями координат Ох і Oy відповідно.

Величина називається приростом функції в даному напрямку. Границя відношення цього приросту до величини переміщення при умові називається похідною за напрямком та позначається ,

.

Нескладно одержати більш зручні формули для обчислення похідної за напрямком, а саме, для функції двох змінних z = f(x;y)

;

(4)

для функції трьох змінних u = f ( x; y; z)

,

(5)

де напрямні косинуси тривимірного вектора відповідно рівні

.

(6)

Похідна за напрямком характеризує швидкість зміни функції в даному напрямку .

Приклад 8. , . Знайти похідну за напрямком та обчислити її в точці P₀(1;2;0).

Обчислимо модуль вектора За формулами (6) маємо . Обчислимо частинні похідні

.

За формулою (4) маємо похідну за напрямком та її значення в точці P₀(1;2;0) .

Оскільки <0, то функція в напрямку спадає.

Градієнт

Градієнтом функції (або ) кількох змінних u=u(P) називається вектор, координати якого є частинними похідними за відповідними незалежними змінними.

Таким чином, для функції двох змінних

,

а для функції трьох змінних

.

(7)

Говорять, що в області (n=2, 3) задано векторне поле, якщо в кожній точці заданий вектор (тобто задана вектор-функція декількох змінних). Отже, будь-яка диференціюєма в області G скалярна функція (скалярне поле) u=u(P) породжує в цій області векторне поле . Функція u(P) називається потенціалом векторного поля , а саме векторне поле називається потенційним полем.

ТЕОРЕМА. Похідна за напрямком дорівнює проекції градієнта на цей напрямок .

Наслідок. Похідна за напрямком максимальна у напрямку градієнта, тобто градієнт направлений у бік найскорішого зростання функції, і в цьому напрямку .

ТЕОРЕМА. 1). Градієнт функції двох змінних в кожній точці перпендикулярний до лінії рівня даної функції, що проходить через цю точку (якщо ).

2). Градієнт функції трьох змінних в кожній точці перпендикулярний до поверхні рівня даної функції, що проходить через цю точку (якщо ).

Наслідок. Похідна за напрямком , який дотичен до лінії рівня, рівна нулю.

Приклад 9. . Знайти градієнт функції в точці

Обчислимо частинні похідні ; ;

За формулою (7) маємо .

Обчислимо значення градієнта в точці : .