Границя і нЕперервність функції двох змінних

Нехай функція визначена в деякому околі точки .

Околом точки R² називається будь-яке коло з центром в точці , а околом точки R³ – будь-яка куля з центром в точці .

Позначимо через – відстань між точками та ,

.

Говорять, що точка P наближається до точки , якщо в процесі зміни координат точки P(x;y) , що можливе тоді і тільки тоді, коли одночасно .

Число B називається границею функції , при

,

якщо , коли .

Функція називається неперервною в точці Pо, якщо визначено значення , і

.

Функція називається неперервною в області R², якщо вона неперервна в кожній точці D.

Визначення границі та неперервності функції декількох змінних аналогійні цим поняттям для функції однієї змінни. Тому справедливі всі правила граничного переходу, та всі елементарні функції декількох змінних неперервні в своїх природних областях визначення. Значить, можна переходити до границі під знаком функції, якщо ця функція елементарна і визначена в деякому околі граничної точки.

Приклад 1: .

Частинні похідні

Нехай – функція двох змінних. Зафіксуємо одну із змінних, наприклад у, а другій надамо приріст . Частинним приростом функції за змінною x називається величина . Аналогійно визначається частинний приріст за змінною у: .

Якщо приріст отримують обидві незалежні змінні, то різниця називається повним приростом функції.

Частинною похідною від функції двох змінних за змінною x (позначається або ) називається границя відношення частинного приросту функції за змінною x до приросту цієї змінної при умові :

,

тобто похідна цієї функції, обчислена в припущенні, що інша змінна у фіксована.

Аналогійно визначається частинна похідна за у (x вважаємо фіксованим):

.

Приклад 2.

Частинні похідні функцій більш ніж двох змінних обчислюються в припущенні, що всі змінні фіксовані, окрім однієї, за якою і обчислюється похідна.

Приклад 3. ,

Диференціал

Нехай функція визначена в околі точки , точка лежить в цьому околі та – відстань між точками і .

Якщо повний приріст функції між точками та може бути представлено у вигляді

,

де і обчислюються в точці , а – нескінченно мала, коли (тобто коли ), то функція називається дифференційовною в точці , а вираз

називається повним диференціалом функції .

Оскільки прирости незалежних змінних x, у співпадають з їх диференціалами , , то

ТЕОРЕМА. Достатня умова диференційовності.

Якщо функція має в деякій області неперервні частинні похідні й , то вона в цій області диференційовна.

Такі функції називаються неперервно диференційованими.

Для функції трьох змінних диференціал

(1)

Приклад 4.

.

Частинні похідні неперервні при всіх (x; у; z), тому функція диференціюєма в кожній точці площини і її повний диференціал за формулою (1) дорівнює

.

Похідні складних функцій

a) Нехай , де u=u(x), v=v(x), тобто – складна функція однієї змінни x. Тоді

(2)

Приклад 5. , де . Обчислимо .

, за формулою (2) маємо

.

б) Нехай , де u=u(x;у), v=v(x;у), тобто – складна функція двох змінних. Тоді її частинні похідні

(3)

Приклад 6. , де . Обчислимо .

За першою з формул (3) маємо

Обчисліть самостійно.

в) Формули (2), (3) легко розповсюджуються на випадки функцій більш ніж двох змінних. Наприклад, якщо , де u=u(x), v=v(x), w=w(x), то