11. Метод экстраполяции тренда.

Суть данного метода состоит в том, что закономерность, действующая внутри анализируемого периода, выступающего в качестве базы прогнозирования. Прогнозирование в этом случае сводится к подбору аналитически выраженных моделей тренда типа y=f(t). По данным пред прогнозного периода и экстраполяции полученных трендов на интервале прогноза. Расчетная формула для получения прогноза записывается в аддитивном или мультипликативном виде.

Аддитивная модель прогноза имеет вид – y¹_t=y_t+S_t+V_t+d_t+E_t (1),y¹_t- прогнозное значение временного ряда, y_t – среднее значение прогноза, S_t – составляющая прогноза, отражающая периодические колебания (сезонные колебания), V_t – составляющая прогноза, отражающая периодические колебания, повторяющиеся в течении длительного промежутка времени, d_t – составляющая, позволяющая учесть другие важные для конкретного прогноза факторы, E_t – случайная величина отклонения прогноза, обусловленного стохастическим характером социально-экономических процессов.

Мультипликативная модель прогноза имеет вид - y¹_t=y_t+J_S*J_V*J_d+E_t (2) - J_S – коэффициент, учитывающий сезонные колебания, J_V – коэффициент учитывающий циклические колебания, J_d – коэффициент учитывающий другие для конкретного прогноза факторы.

В частных случаях количество составляющих данной модели может быть меньше или больше, если необходимо выделить сезонные составляющие применительно к часам суток, дням недели, месяцам.

Рассмотрим простой вариант, когда данные модели содержат 2 составляющих.

Процедура прогнозирования представляется в следующей последовательности:

1. Подбор зависимости для описания уравнения тренда y_t¹=a_o+a₁*t (3). Расчет коэффициентов уравнения производится по формуле a_o= (4), a₁= (5)

2. Продолжение полученного тренда за интервал значений, по которым строилась зависимость или определение точечного прогноза. Для получения значения прогноза на tгод в уравнение трендов подставляется конкретно значение t. При этом соотношение длины предпрогнозного периода и периода прогноза должно быть не менее чем 3 к 1

3. Расчет ошибки прогноза (погрешность прогноза) – S_y= (6) - S_y – погрешность прогноза, – расчетное значение, – фактическое значение, К – число степеней свободы, определяющее зависимости от числа наблюдений и числа оцениваемых параметров – К=N-r (7) – N – число наблюдений, r – число параметров.

4. Определение интервалов прогноза - ∆y=y_t t*S_y (8)

Задача:

Выполнить прогноз на 6 день используя исходные данные

День	Спрос	Всего с начала цикла
1	9	9
2	2	9+2=11
3	1	12
4	3	15
5	7	22

Формула модели Брауна:

Решение: параметр начального условия

В первом приближении примем α=0.4. в качестве начального условия выберем значения спроса в день y₁=9/

Формула Y¹_t+1=αy+(1-α)y¹_t - выполним прогноз при t=1, подставим в формулу необходимые значения показателя и начальные условия => 0,4*9+(1-0,4)*9=9 единиц

Y’₂₊₁=0,4*2+(1-0,4)*9=6,2 единицы

Y’₃₊₁=0,4*1+(1-0,4)*6,2=4,12 единицы

Y’₄₊₁=0,4*4+(1-0,4)*4,12=3,672

Y’₅₊₁=0,4*7+(1-0,4)*3,672=5,0032

Ошибка прогноза: S_y= = =4,7

Найдем интервальный прогноз на основании критерия Стьюдента:

Для уровня значимости 0,1 при К=4 и t_0,1=2,132 определим нижнюю границу прогноза

Y_нижн=5-4,7*2,132=-5 => так как нижняя граница не может быть отрицательна примем ее = 0

Y_верхн=5+4,7*2,132=15

Таким образом методом экспоненциального сглаживания получен прогноз на 6 день: среднее значение реализации 5 единиц, ошибка прогноза 4,7 единиц, с вероятностью 0,9 ожидается реализация в интервале от 0 до 15 единиц

Для α=0,3

Y’₁₊₁=0,3*9+(1-0,4)*9=9

Y’₂₊₁=0,3*2+(1-0,4)*9=6,9 единицы

Y’₃₊₁=0,3*1+(1-0,4)* 6,9 =5,13 единицы

Y’₄₊₁=0,3*4+(1-0,4)*5,13 =4,491 единицы

Y’₅₊₁=0,3*7+(1-0,4)* 4,491 =5,2437 единицы

Ошибка прогноза: S_y= = =4,87

Y_нижн=5-4,87*2,132=-5 => так как нижняя граница не может быть отрицательна примем ее = 0

Y_верхн=5+4,87*2,132=15

Таким образом методом экспоненциального сглаживания получен прогноз на 6 день: среднее значение реализации 5 единиц, ошибка прогноза 4,87 единиц, с вероятностью 0,9 ожидается реализация в интервале от 0 до 15 единиц