2.3.3 Изометрия, триметрия.

Для получения изометрической проекции ставится условие равного сокращения всех трех координатных осей.

Применяя преобразование, как описано выше, к единичному вектору, направленному по оси Z, получим

.

Мы имеем еще одну связь между углами Ф и

Или

(2.52)

Решая совместно эти уравнения, получим

(2.53)

Подставляя найденное значение в (2.52) получим или .

Пример изометрической проекции приведен на рис. 2.3.

Рис 2.3 – Изометрическая проекция куба

При триметрии длины единичных векторов, полученных в результате проекции:

- различны.

2.3.4 Косоугольные проекции

В косоугольных проекциях проектирующие прямые образуют с плоскостью проекции угол, отличный от 90. Различные типы косоугольных проекций характеризуются величиной этого угла. Выделяют два типа косоугольных проекций:

• свободную проекцию (угол между проектирующими прямыми и плоскостью проекции равен 45)(см рис. 2.4);

Рис. 2.4 - Свободная проекция куба

• кабинетную проекцию (частный случай свободной проекции, в котором масштаб по третьей оси уменьшен в два раза)(см рис.2.5).

Рис.2.5 – Кабинетная проекция куба

Рассмотрим проекцию на плоскость XOY  и предположим, что и являются составляющими косоугольной проекции единичного вектора z на эту плоскость, т.е. вектор [0 0 1 1] преобразуется в вектор [ 0 1]. Матрица такого преобразования имеет вид

Для свободной проекции .

Для кабинетной проекции . 

2.3.5 Перспективные преобразования и проекции.

Перспективная проекция получается путем перспективного преобразования и проецирования на некоторую плоскость наблюдения. Как мы увидим, перспективную проекцию можно получить путем выполнения одной из двух последовательностей преобразований.

Перспективное преобразование в 3D-пространстве и параллельное проецирование.

Аффинные преобразования (повороты вокруг координатных осей, смещение, масштабирование, перенос) в 3D-пространстве и центральное (перспективное) проецирование.

Напомним, что перспективные преобразования (в т.ч. проецирование) отличаются от аффинных наличием ненулевых элементов 4-го столбца матрицы 44 .

Перспективная проекция на плоскость z=0 обеспечивается преобразованием

т.е.

(2.54)

Геометрический смысл этого преобразования виден. Каждая точка (например, С) переводится в точку путем центральной проекции, центр которой лежит на оси z в точке с координатами:

.

Из рассмотрения подобных треугольников ODH и видно, что

. (2.55)

Аналогично, из треугольников OCD и :

. (2.56)

При r=0 перспективное преобразование вырождается в аксонометрическое.

Очевидно, что проекцию из другой точки можно получить, выполнив предварительно аффинные преобразования, переводящие центр проекции в требуемое положение, или, что тоже самое, помещающее объект в нужное положение и под нужный ракурс. При этом координата h у всех точек останется равной 1, т.к. 4-й столбец матрицы аффинных преобразований . После этих преобразований выполняется центральное проецирование.

С другой стороны, при проецировании на плоскость z=0 информация о координате z теряется. Иногда это неудобно. В этом случае можно выполнить перспективное преобразование, например, матрицей:

а затем параллельное проецирование.

Видно, что полученное 3-х мерное изображение и проекция воспринимаются скошенными, что дает неверное визуальное представление об их глубине. Более реалистическая картина получится, если предварительно сместить куб влево по оси x и вниз по оси y.

Отметим еще одно интересное обстоятельство. Возьмем точку в бесконечности на оси z и выполним перспективное преобразование:

Поскольку параллельные линии исходного пространства "сходятся" в бесконечности, то в преобразованном пространстве линии, которые были параллельны оси z, будут сходиться в точке:

.

Эту точку называют точкой схода.

Аналогично, перспективное преобразование

(2.57)

будет приводить к точке схода .

Преобразование:

будет приводить к точке схода .

П реобразования, которые мы сейчас рассмотрели, являются одноточечными (имеют одну точку схода). Их еще называют параллельными перспективными преобразованиями. Пример такого преобразования приведен на рис. 2.6.

Рис. 2.6 – Центральная проекция куба

с одной точкой схода

Если в 4-м столбце матрицы 44 два элемента ненулевые, то получим двухточечную или угловую перспективу

Точки схода в данном случае расположены на оси х: и на оси у: .

Пример двухточечной перспективы приведен на рис. 2.7.

Рис. 2.7 – Центральная проекция домика с двумя точками схода x₀ и y₀

Отметим, что для построения реалистичной проекции недостаточно просто отцентрировать объект. Его нужно еще повернуть определенным образом, но это мы рассмотрим ниже.

Аналогично, получается трехточечная или косая перспектива:

Точки схода лежат на всех трех осях:

, , .

При построении перспективных проекции для получения "правильных" (реалистических) изображений часто полезно выполнить ряд предварительных аффинных преобразований поворотов вокруг координатных осей и смещения. При этом может измениться вид перспективы.

Повернем единичный куб вокруг оси у на угол и сместим его к точке [l m n]. Затем построим одноточечную перспективную проекции с центром в точке k на оси z на плоскости z=1.

Матрица преобразования

дает двухточечную перспективу.

При этом линии, которые были параллельны оси у, остались параллельны, а линии, которые были параллельны осям x и z, сходятся в точках на оси х.

Трехточечная перспектива получается, если предварительно выполнено вращение вокруг двух координатных осей, например, на угол вокруг оси у и угол Ф вокруг оси х.