2 Математические основы компьютерной графики

2.1 Преобразования на плоскости

Ниже мы рассмотрим лежащие в основе КГ положения математики, необходимые для представления и преобразования точек и линий.

На плоскости точку представляют с помощью двух ее координат. Их значения можно рассматривать как элементы матрицы: вектор - строки   или вектор - столбца . В пространстве каждая точка представляется тремя координатами–аналогично или .

Таким образом, последовательность точек, образующих объект, может быть представлена в виде матрицы чисел. Положением точек можно управлять путем преобразования матриц. В результате многие физические задачи можно привести к следующей формулировке. Пусть даны матрицы А и В и задана их взаимосвязь: АТ = В; необходимо найти матрицу преобразования Т.

С другой стороны, матрицу Т можно рассматривать как оператор, а умножение А на Т - как геометрическое преобразование над системой точек, содержащихся в матрице А. При этом матрицы А и Т должны быть известны. Такая интерпретация является основой математических преобразований, используемых в КГ.

Прежде чем перейти к рассмотрению отдельных видов преобразований, вспомним основные положения матричной алгебры.

2.1.1 Матричные операции

Матрица - это прямоугольный массив чисел размером (m - число строк, n - число столбцов). Если n = m, то матрица называется квадратной. Размер матрицы называется ее порядком. Элементы матрицы называются главными диагональными элементами.

Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны 0.

Единичная матрица – элементы главной диагонали равны 1, а остальные - 0.

Сложение и вычитание. Если две матрицы А и В имеют одинаковый порядок , то допустимо их сложение и вычитание. Результирующая матрица будет иметь тот же порядок. Сложение и вычитание матриц осуществляется поэлементно, то есть если , то

. (2.1)

Умножение. Это самая распространенная матричная операция в КГ. Пусть матрица А имеет размерность , матрица В – . Умножение матриц определено только в том случае, если , то есть число столбцов левой матрицы в произведении равно числу строк правой матрицы. Результирующая матрица будет иметь порядок . Значения элементов матрицы определяется следующим образом:

. (2.2)

Например, при умножении матрицы А размером 43 на матрицу В размером 32 получим матрицу С размером 42. Например, элемент матрицы C с номером (3;2) определяется как:

,

то есть как сумма произведений элементов третьей строки матрицы А на соответствующие элементы второго столбца матрицы В.

Важно иметь в виду, что умножение матриц не коммутативно, то есть

.

При этом выполняются левая и правая дистрибутивность относительно сложения А (B +C) = АВ +АС и (А+В) С = АС +ВС

и ассоциативность А (ВС) = (АВ) С = АВС.

  Определитель квадратной матрицы. Определитель квадратной матрицы А обозначается . Например, определитель матрицы 22 будет:

. (2.3)

Определитель матрицы 33

(2.4)

Определитель матрицы

(2.5)

– алгебраическое дополнение матрицы А - это матрица размером , получаемая путем вычеркивания из матрицы А элементов i-ой строки и элементов j-ого столбца;

- определитель матрицы .

Обращение квадратной матрицы. В матричной алгебре операция деления неопределенна. Поэтому в выражении

АТ = В матрица Т определяется как

, (2.6)

в том случае, если А – квадратная матрица.

Матрица называется обратной к А.

Произведение обратных матриц дает единичную матрицу того же порядка:

. (2.7)

Например,

Обратная матрица вычисляется следующим образом

, (2.8)

где – определители алгебраических дополнений, верхний символ “T” означает операцию транспонирования, то есть записи строк столбцами, а столбцов - строками.

Видно, что если , то матрицы не существует. В остальных случаях матрица существует и единственна.