3.4. Удельная работа упругой деформации

Удельную энергию можно определить как сумму работ, затрачиваемую на изменение линейных размеровв каждом из трёх направлений по нормалям главных площадок. При простом растяжении имеем:

U=0.5••

Обобщая на три направления

U=0.5•(_•__•___•__{}

Заменим относительные удлинения через обобщенный закон Гука_

U=0.5•[²_²__²_2______/Е(3.30)

Если грани кубика не являются главными площадками то

U=0.5•(_x•_x_y•_y__z•_z_xy• γxy_xz• γxz_yz• γyz(3.31)

_ 3.5. Критерии прочности и разрушения материалов( классические теории прочности)

При оценке прочности следует исходить из того, что наступление предельгого состояния отождествляется с появлением пластических деформаций или разрушением конструкции. Поэтому нужно установить меру напряженного состояния, при которой происходит переход от упругого состояния к предельному.

В качестве такой меры могут выступать:

- максимальные нормальные напряжения;

-предельные относительные деформации;

-предельная энергия деформирования;

-функциональные требования и др.

При любой сложности напряженного состояния таким критерием может быть эквивалент нормального напряжения

экв= f(1,2,3O[] или R-расчётного сопротивления (3.32)

Чтобы конструкция гарантировано сохраняла работоспособность, надо снизить рабочие напряжения в n раз, где „ коэффициент запаса. n.

Различные варианты эквивалентного напряжения получаются на основании гипотез прочности, число которых велико (свыше 20). Ввиду большого многообразия материалов невозможно подобрать гипотезу, справедливую для всех материалов.

Для различных групп материалов, аморфных, таких как резина, или глина, или лаки и краски, кристаллических, таких как металлы в хрупком состоянии или металлы в пластичном состоянии, применяются свои (кстати тоже многочисленные) гипотезы. Рассмотрим основные гипотезы или теории прочности.

А.Первая гипотеза(теория) максимальных нормальных напряжений

32

Б.Вторая гипотеза(теория) максимальных линейных деформаций

Материал конструкции выходит из строя по причине возникновения растягивающих напряжений и удлинения.

Условие выхода из строя max= = раст = ,

σ₁-( σ₂+ σ₃) = σпред

причём σ₁-( σ₂+ σ₃)0

условие прочности σ₁-( σ₂+ σ₃)O[σ_p]

Выражая главные напряжения для плоского напряженного состояния через σ_х , σ_у и _{xy ,} получим

σэкв = O[σ_p] или R

где k=

В. Третья гипотеза(теория) наибольших касательных напряжений

Касательное напряжение

max=0,5(σ₁- σ₃) =0,5 σ_т,

σэкв= σ₁- σ₃= σ_т

В действительности этот критерий является для плоской задачи, при σ₃ =0

max= σэкв = O[σ_p] или R

Г. Четвёртая гипотеза(теория) энергетическая теория пластичности

Использует критерий удельной энергии изменения формы. Переход материала в пластическое состояние связан с достижением удельной потенциальной энергии. Потом выяснилось, что на пластику влияет только часть, которая обусловлена изменением формы.

33

Д. Пятая гипотеза(теория) теория Мора при разрушении сдвигами по площадкам.

Такое разрушение происходит от мах = при этом нормальное напряжение на этой площадке равно f(_1.,_1,₁)= мах+y (₁+₃)

Функция y определяется из опыта.

Пример:

Исследование плоского напряжённого состояния тонкостенной трубы (D/210) в случае одноосного растяжения, внутреннего давления жидкости или газа, а также закручивания вокруг оси Х.

Рис.3.11. Напряжённое состояние в тонкостенной трубе

_х=F/A; _­xz=M_x/W_p=2M_x/(D²); _z=pD/(2); из условия равновесия полукольца pD•1-2_z•1=0;

Исходные напряжения: _Х=60 МПа; _­xz=-40 МПа ; _Х=30 МПа;

Графическое изображение изображение напряженного состояния показано на рис.3.12.

³⁴

^{Рис.12.Графическое изображение напряженного состояния в стенке трубы}

35 4. Геометрические характеристики поперечных сечений

Известны три геометрические характеристики, знакомые каждому „ это длина, площадь, объем, которые имеют определенный физический смысл. В этой главе рассмотрим новые характеристики, которые будут использоваться в расчетных формулах сопротивления материалов: статические моменты и моменты инерции площади сечений. Эти характеристики не могут быть изображены в трехмерном пространстве.

При выводе формул сопротивления материалов иногда случается, что часть формулы представляет собой интегральное выражение, зависящее только от формы и размеров сечения. Для упрощения последующего использования таких формул удобно такое выражение подсчитать заранее для различных форм сечений.

4.1 Статические моменты площади сечений

Статические моменты площади сечений используются при определении положения центра тяжести сечения, при расчете касательных напряжений при изгибе.

Моменты инерции используются при расчете напряжений и перемещений при изгибе и при кручении и т. д.

Статическими моментами площади сечений называются интегралы следующего вида

(4.1)

Рассмотрим сечение произвольной формы (рис. 4.1).

Рис.4.1.К понятию о геометрических характеристиках сечений

Выделим в сечении элементарную площадку dA с координатами y и z. Произведение площади на координату ydA есть элементарный статический момент dS относительно оси z. .Это понятие аналогично моменту силы относительно оси. Если предположить, что A –это вес пластины, имеющей форму нашего сечения, то статический момент zS„ это момент силы тяжести пластины относительно оси z.

 Размерность статических моментов – [длина³], обычно или .

1.  Статические моменты могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

 Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной.

• Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения.

Статический момент составного сечения равен сумме статических моментов элементов этого сечения. Это вытекает из свойств определенного интеграла, который можно вычислять по частям (в нашем случае по частям площади A).

Рассмотрим изменение статического момента при параллельном переносе осей координат (рис. 4.2). Расстояние между старыми и новыми осями координат обозначим а и b. Пусть известны статические моменты относительно старых осей координат z–y. Найти статические моменты относительно параллельных новых осей координат z₁–y₁.

36

Рис.4.2.Геометрические характеристики при параллельном переносе координатных осей

Запишем связь между координатами площадки в старой и новой системах координат

По определению Sy1= ₁ Sz1= (4.2)

Выделим элементарную площадку dA и запишем связь между координатами площадки в старой и новой системах координат z₁=z–b и y₁=y–a. тогда

S_z1=

Аналогично Sy1= (4.3)

Можно показать, на сколько нужно сместить оси, чтобы они стали центральными.

S_z1=Sz–aA=0; Sy1=Sy–bA=0. (4.4)

Координаты центра тяжести составного сечения (площади сложного очертания) можно определить по формулам:

z_c = ; y_c= . (4.5)

где yi, zi, и Ai– координаты центра тяжести и площадь элементов, на которые разбито сечение,n–количество таких элементов.

4.2 Осевые моменты инерции площадей сечений

Моментами инерции сечений называются интегралы следующего вида

2. 37

3. ⎡ Размерность моментов инерции– [ длина⁴], обычно [ м⁴] или [см⁴];

⎡ Осевые и полярный моменты инерции всегда положительные. Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции сечения. Оси симметрии всегда главные. Если из двух осей хотя бы одна является осью симметрии, то обе оси главные.

⎡ Момент инерции составного сечения равен сумме моментов инерции элементов этого сечения.

⎡ Полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции.

⎡ Докажем последнее свойство. В сечении площадью dA для элементарной площадки радиус-вектор ρ и координаты y и z (рис.4.2) связаны по теореме Пифагора ρ²=y²+z². Тогда

(4.6)