3.3. Плоское напряженное состояние

В одной из плоскостей отсутствуют внешние силы (например, в пластинке). Следовательно, в этом направлении нормальные и касательные напряжения равны нулю, а сами площадки –главные.

Рис.3.2.Пластинка произвольной формы

25

3.3.Напряжения на гранях элемента для случая плоского напряженного состояния

Правило обозначения напряжений. Первый индекс указывает на принадлежность площадке с нормалью к ней, вдоль соответствующей оси. У касательных напряжений второй индекс указывает на направление действия вдоль соответствующей оси.

Выделим элементарный объём из пластины (рис.3.3). Ввиду малости напряжения на параллельных гранях отличаются на малую величину. Все напряжения условно изобразим со знаком «+». Т.к. выделенный элемент находится в равновесии, составим уравнение Мо₁-о₂=0:

τxz dx dy dz/2 + (τ xz +dτxz) dx dy dz/2+τzx dx dy dz/2+(τ zx +dτzx) dx dy dz/2=0

Пренебрегая величинами второго порядка малости, получим

τ zx = -τxz (3.8)

Закон парности касательных напряжений: Касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по величине и противоположны по знаку.

Рис.3.4.Напряжения по наклонной площадке под углом q

Sn=0;

dA•_n-_x•cos•dA•cos-_z•sin •dA• sin +_zx• cos•dA• sin +_xz • sin •dA • sin=0;

n= _x•cos²+ _z•sin² - _xz• sin2  (3.9) [1]

Sn+90=0; n•dA + _z• cos• dA• sin  - _x•sin•dA•cos-

• _xz • cos •dA • cos + _zx• sin •dA• sin  =0;

n= (3.10) [2]

Преобразование формулы (3.9).

n= [1]

В частном случае по главной площадке n=0; из [2] следует:

26

0= tg 2 = (3.11) [3]

В формулах угол  между нормалью к исходной площадке и наклонной к ней, принят положительным, если откладывается от первой упоминаемой оси против хода часовой стрелки.

Т.к. оси могут выбираться произвольно, то любая группа напряжений, при различных углах поворота

вполне характеризует напряженное состояние в точке. Это понятие, называемое тензором напряжений.

Если сравнить формулу [1] и [2], то можно заметить, что [2] является производной от [1]. И если [2] равно нулю, то это соответствует экстремальному значению [1]. Вывод: по главным площадкам при n= 0

действуют экстремальные значения нормальных напряжений, эти напряжения и площадки наз. главными. Причем одно из напряжений соответствует максимуму, а второе минимуму.

Установим значения главных напряжений

Рис.3.5.Напряжение по главной площадке

SХ=0; _гл•dA•cos-_x• dA•cos-_zx •dA• sin =0;

(_гл –_x)• dA•cos + ­_xz •dA• sin  =0;

(_гл –_x)+ _xz•tg=0; [a]

SZ=0; _гл•dA•sin-_z• dA•sin+_xz •dA• cos q=0;

(_гл –_z) +_xz • ctg =0; [b]

Перемножим [a] и [b]

(_гл –_z) •(_гл –_z) + ²_xz=0; [c]

²_гл–(_гл •_x+ _гл •_z)+(_z •_x+²_xz)=0;

гл=

(3.12)

При знаке «+» гл=max, при « - » гл=min.

27

Рис.3.6. Построение круга Мора (круга напряжений)

По кругу Мора очевидно, что:

1.По главным площадкам касательные напряжения отсутствуют.

2.Касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по абсолютной величине противоположны по знаку.

3.Сумма нормальных напряжений по любым взаимно перпендикулярным площадкам равны постоянной величине.  max+ min= x+z (3.13)

4. Максимальные касательные напряжения действуют под углом 45° к направлениям главных напряжений.

мах = ; (3.14)

3.4. Объёмное напряженное состояние. Деформированное состояние.

Обобщённый закон Гука

Напряжения, действующие на гранях параллелепипеда принято записывать в виде матрицы-тензора.

(3.15)

Матрица симметрична относительно главной диагонали. Т.е. при разрешении необходимо определять компонент.

Рис.3.7.Объёмное напряженное состояние: а) исходные площадки и б) главные площадки

Как и в плоском напряженном состоянии, меняя ориентацию осей можно добиться такого положения, когда на гранях касательные напряжения будут равны нулю. Это будут главные площадки с главными напряжениями. Рассмотрим один из способов их определения. По аналогии с плоским напряженным состоянием, выделим в окрестностях точки тетраэдр, одна из плоскостей с нормалью наклоненной к ортогональным осям x,y,z под углами с косинусами:

28

cos(x,n)=l; cos(y,n)=m; cos(z,n)=n; (3.16)

dA_x=dA•l; dA_y=dA•m; dA_z=dA•n; (3.17)

Из условия равновесия тетраэдра получим проекции полного напряжения по наклонной площадке:

7

X_n= x•l+ yx •m + zx •n

Y_n=xy •l+y•m +zy •n _(3.18)

Z_n=xz •l +yz •m +z•n

Значение нормального напряжении

n= X_n•l + Y_n •m + Z_n •n= sx •l² + ^y•m²+ ^z•n²+ +2 xy •lm+ 2 yz •mn+2 xz •nl _(3.19)

Аналогично можно найти все нормальные и касательные напряжения. Направляющие косинусы связанымежду собой зависимостью:

l² + m²+ n²=1; (3.20)

После некоторых преобразований можно получить кубическое уравнение, относительно главных напряжений на наклонной площадке.

s³ -I₁ s ² -I₂ s –I₃ =0; (3.21)

где I₁ = x+y+z ;

I₂ = –xy –yz –zx+²xy + ²yz + ²zx; (3.22)

I₃₌

Кубическое уравнение имеет 3 корня с действительным значением. Коэффициенты I_1, I₂ ,I₃ не меняют своего значения при перемене системы координат и наз. инвариантами. Наиболее просто I_1, I₂ ,I₃ определяются через главные напряжения.

I₁ = ₁₁+₂+₃;

I₂ = –₁₂ –₂₃–₃₁

I₃= (3.23)

29

Если в окрестности исследуемой точки элементарный объём выделен главными площадками, то система описания усилий на гранях элемента сильно упрощается.

X_n=1•l; Y_n=2•m; Z_n=3•n;

Т.к. l² + m²+ n²=1; то: (3.24)

Последнему выражению можно дать геометрическое толкование. Это поверхность эллипсоида вращения.

Полуосями его являются s1,s2 и s3 , а поверхность является геометрическим местом концов векторов полного напряжения.

Для объемного напряженного состояния круг Мора можно применить для нахождения напряжений на площадках, параллельных одной из главных осей. В этом случае в построении круга будут участвовать напряжения только на двух площадках, как и при плоском напряженном состоянии.

На рисунке 3.9, а изображен элемент, ориентированный по главным площадкам, при объемном напряженном состоянии. Возьмем три площадки, каждая из которых параллельна одной из главных осей, и построим для них круги Мора

Рис.3.9. Круговая диаграмма Мора при объемном напряженном состоянии

Три круга с диаметрами I−II, II-III, I−III. max=0,5(I−III) (3.25)

В частном случае sI=sII=sIII три круга вырождаются в точку (случай гидростатического давления). При этом любая площадка становится главной, т.к. отсутствуют касательные напряжения.

Для проверки прочности материалов при объёмном напряженном состоянии представляют интерес напряжения, действующие по октаэдрической площадке, с нормалью n, равно наклонённой к главным осям.

l² + m²+ n²=1; l² = m²= n²=1/3; окт=()/3=ср (3.26)

окт= (3.27)

В предыдущих разделах уже рассматривалась связь напряжений и деформаций при простых видах упругой деформации. Пришло время установить такую связь в общем случае нагружения. Напомним закон Гука при растяжении и при сдвиге

При растяжении напряжение x=Eεx

Деформация в продольном направлении εx=x /E . В поперечном направлении ε y =ε z=−  ε x =− σx /E

Следует отметить, что линейная деформация не вызывает сдвига. Прямые углы в растянутом элементе остаются прямыми.

30

При сдвиге. τ xy =G⋅γxy

Откуда угол сдвига γxy=.τ xy /G;

В общем случае нагружения 6 компонент напряжений вызывают появление 6-и компонент деформации.

Каждое напряжение вносит свой вклад в каждую деформацию. На основании принципа независимости действия сил

От нормальных напряжений возникают изменения в линейных размерах в продольном и поперечных направлениях. Нормальные напряжения не вызывают сдвигов. От каждой пары касательных напряжений происходит сдвиг в одной плоскости.

ε_x= (σ_x- σ_y- σ_z) /E γxy=.τ xy /G;

ε_y= (σ_y- σ_z- σ_x) /E γyz=.τyz /G; (3.28)

ε_z= (σ_x- σ_x- σ_y) /E γzx=.τ zx /G;

Формулы (3.28) называют обобщенным законом Гука.

Изменение объёма материала в общем случае действия напряжений.

Рис.3.10. Элементарный объём до деформации

Исходный объём V₀= a•b•c.

После деформации V=( a+a)•(b+b)•(c+c)=a(1+a/a)•b( 1+b/b) •c( 1+c/c)=

=a•b•c.(1+ ε₁) (1+ ε₂) (1+ ε₃)  V₀(1+ ε₁+ ε₂+ ε₃);

Относительное изменение объёма ε_v=[ V₀(1+ ε₁+ ε₂+ ε₃)- V₀]/ V₀=( ε₁+ ε₂+ ε₃);

Заменив относительное удлинение выражениями обобщенного закона Гука, получим:

31

ε_v=(s1+s2+s3)(1-2)/E; (1-2)/E-модуль объёмной деформации.