7.3.Теорема о взаимности работ и перемещений

Работа первой силы на перемещении точки её приложения под действием второй силы равна работе второй силы на перемещении точки её приложения под действием первой силы.

Рассмотрим упругую конструкцию (балку), к которой приложены силы F₁ и F₂. В соответствии с принципом независимости действия сил, потенциальную энергию можно подсчитать от последовательного приложения силв прямом и обратном порядке. На рис.7.4 представлена схема приложения и величина работы сил при прямом порядке а) приложения сначала силы в точке 1 и б) в обратном порядке сначала в точке 2. Приравняв работы двух сил на перемещениях балки получим равенство подтверждающее смысл теоремы. Если принять обе силы F₁=F₂=1 , то получим теорему о взаимности перемещений

₁₂ = _{21 (7.15)}

Рис.7.4.Схема поочерёдного приложения нагрузок и подсчёт работ для случая а) и б)

Аналогичный результат может следовать из формул для определения перемещений

₁₂ =  ( М­ ₁ M₂ )dx/(EI)

L

₂₁ =  ( М­ ₂ M₁ )dx/(EI)

L

Порядок определения перемещений с помощью интеграла Мора

1. 1. Изобразить отдельно заданную систему, нагруженную всеми внешними силами (основную, грузовую систему) и систему, нагруженную одной единственной единичной силой (единичная система). Единичная система нагружается сосредоточенной силой F=1, если определяется линейное перемещение, и парой сил

2. M=1, если определяется угловое перемещение. Единичная сила F=1 или единичный момент M=1 прикладывается в точке, где ищем перемещение в направлении этого перемещения.

2. Определить, если нужно, опорные реакции отдельно для грузовой системы и для единичной системы с помощью уравнений равновесия. Для балок и рам, защемленных

75

одним концом, определение реакций в заделке нецелесообразно. В этом случае внутренние усилия определяют, рассматривая свободную (без заделки) часть балки или рамы, на которой известны все действующие силы.

3. Разбить заданную систему на участки и указать текущую координату в произвольном сечении каждого участка Количество участков и их границы должны быть одинаковы для грузовой и единичной системы.

4. Для каждого участка записать внутренние усилия от внешних сил для грузовой системы и от единичной силы или момента для единичной системы. Правило знаков для внутренних усилий может быть произвольным, но постоянным для рассматриваемой задачи, так как важен лишь знак произведения усилий. Произведение усилий, например, MF⋅M, положительное, если изгибающие моменты действуют в одном направлении, и отрицательное, если в разных.

5. определить искомое перемещение, используя интеграл Мора, например,

где n-число участков, на которые разбита система, i- номер участка.