7.1.Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, аналитический способ определения прогибов и углов поворота сечений

По выражению из математики кривизна кривой линии

(7.2)

Кривизна балки обычно небольшая и угол поворота можно считать величиной малого порядка по сравнению с единицей, поэтому величиной w’² можно пренебречь.

Запишем уравнение упругой линии балки. По выражению (6.8) кривизна балки

65

(7.3) Приравняв (7.2) и (7.3) , получим приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

M(x) ±EI_y wBB(x) (7.4)

Для принятой системы координат и прогиба балки вниз (7.4) будем принимать знак «–»

EI_y wBB(x) = - M(x); (7.5)

Определение прогибов сводится к интегрированию уравнения (7.5)

w(x)= z(x)-прогиб w’(x)= zB(x)-угол поворота

w’’(x)= zBB(x)- момент zBBB(x)-поперечная сила

z^IV(x)-контактное давление (распределённая нагрузка)

Непосредственное интегрирование уравнения упругой линии балки

Это самый простой способ определения перемещений балки при изгибе. Необходимо составить уравнение

изгибающего момента для заданной балки и, записав уравнение, проинтегрировать его получим

уравнение углов поворота сечений балки. После второго интегрирования получим уравнение прогибов балки.

Произвольные постоянные интегрирования определяются из граничных условий закрепления балки. Если на балке участков n с различной нагрузкой, для каждого участка составляется свое уравнение упругой линии, дающее после интегрирования две произвольные постоянные. Всего - 2 n постоянных, для определения которых надо составить систему из уравнений и решить ее. Это создает большие трудности при определении перемещений вручную с помощью микрокалькулятора ( 2n).

Пример. Для балки найти прогибы и углы поворота сечений.

x=0; C₂=0; w(0)=0;

x=L; C₁=

66

EI w(x) = ;

Балка изгибается по пораболе четвёртого порядка., прогиб будет там , где EI wB(x)=0, т.е. при x=L/ 2. Проверим

EIwB( )= + ( /3-L( /2)= qL³( qL³(2/48+1/48-3/48)=0;

Прогиб EI w( ) = ( ) + qL⁴ ( - =

Решая аналитическим способом задачи необходимо соблюдать следующие правила:

1.Отчёт абсцисс -(х) производить от начала балки (слева или справа)

2.Все составляющие выражения для момента предыдущего участка должны входить в выражение для момента

последующего участка.

3.Все вводимые слагаемые на новых участках должны иметь сомножитель в скобках вида (х-а), где а- сумма длин предыдущих участков.

4.Интегрирование производить не раскрывая скобок.

5.При разбивке балки на несколько участков, интегрирование уравнений изогнутой оси балки для каждого участка получаем две новые постоянные интегрирования. Т.е. всегда придётся определять 2n произвольных постоянных интегрирования(n-число участков) Однако число постоянных интегрирования можно свести к двум,

следуя правилам:

-а. Составляя выражения для изгибающих моментов всё время рассматривать балку с одной стороны.

-б. Для интегрирования двучленов типа (х-а)^к следует пользоваться формулой

= (7.6)

При соблюдении указанных правил произвольные постоянные интегрирования будут одинаковыми для всех участков.

Правила Клебша Позволяют преодолеть особенности двух случаев нагрузок, при составлении дифференциального уравнения изогнутой оси балки:

1. Для прерванной равномерно распределённой нагрузки q Распределенная нагрузка принимается действующей до конца балки. B, чтобы не нарушить условия нагружения, в сечении, где заканчивается реальная нагрузка, прикладывается равная по величине распределенная нагрузка противоположного направления, также действующая до конца

67

1. Для фиксации места приложения моментной нагрузки Момент пары сил умножается на фиктивное плечо в нулевой степени

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров- это способ решения дифференциальных уравнений, при котором неизвестными параметрами являются значение функции и ее производных в начале координат. Для уравнения упругой линии - это будут прогиб и угол поворота в начале координат на левом конце балки. Для балки с несколькими участками, для того чтобы произвольные постоянные интегрирования на всех участках были равны, надо, чтобы слагаемые уравнения изгибающих моментов не менялись при переходе от одного участка к другому. Для этого используются два приема Клебша:

2. •Распределенная нагрузка принимается действующей до конца балки. А чтобы не нарушить условия нагружения, в сечении, где заканчивается реальная нагрузка, прикладывается равная по величине распределенная нагрузка противоположного направления, также действующая до конца балки.

• Момент пары сил умножается на фиктивное плечо в нулевой степени

В общем виде для случая действия любого количества нагрузок уравнение упругой линии балки принимает вид

Это уравнение называется универсальным уравнением упругой линии балки или уравнением Крылова.

Данное уравнение составлено с учетом распределенной нагрузки постоянной интенсивности q. Если используется распределенная нагрузка переменной интенсивности надо добавить слагаемые, содержащие первую, а если надо, то и вторую производную от q(x.). Правила пользования уравнением Крылова:

1. 1. Начало координат всегда на левом конце балки. В этом случае знаки прогиба и угла поворота сечения совпадают, в противном случае знаки противоположны.

2. 2. Составить уравнение Крылова до последнего участка балки. Уравнение для произвольного сечения балки должно включать в себя только слагаемые от нагрузок, находящихся слева от рассматриваемого сечения. Желательно записывать нагрузки в том порядке, в каком они стоят на балке, соблюдая форму записи, приведенную в уравнении.

3. 3. Уравнение углов поворота сечений получается из уравнения прогибов путем дифференцирования.

4. 4. Знак перед каждым слагаемым соответствует знаку изгибающего момента от данной нагрузки.

5. 5. Начальные параметры определяются из граничных условий.

Сущность метода состоит в суммировании прогибов от всех отдельных силовых воздействий, т.е. от частных

решений. Используется принцип независимости действия сил.

68