6.3 Нормальные и касательные напряжения при плоском изгибе с поперечной силой
При таком изгибе по длине балки будет изменятся момент (и нормальные напряжения), появится поперечная сила Q (и связанные с этим касательные напряжения). Т.о. в поперечных сечениях будем иметь не только нормальные, но и касательные напряжения, а сечения после деформации уже не останутся плоскими. Искривление плоских до деформации сечений не сильно сказываются на результате нормальных напряжений.
Погрешность составляет для протяжённых стержней балок (h/L) 2, так при h/L=0,1 погрешность составит порядка 1%. Такая погрешность не выходит за пределы точности инженерных расчётов.
(6.17)
6.4 Касательные напряжения при плоском изгибе с поперечной силой
От поперечной силы в сечении возникают касательные напряжения . По закону парности в перпенд. направлении также должны быть такие же касательные напряжения с обратным знаком .
Рис.6.8.К выводу формулы Журавского
60
Рассмотрим участок балки длиной dx. SX=0; N+dN-N=• b• dx; dN= b dx;
По формуле (6.13) N= интеграл есть статический момент заштрихованной площади сечения.
b dx;
( dM/dx)S
/(b
Iy)=;
=Q;
=
Формула Журавского
(6.18)
Q-поперечная сила в сечении; Iy-момент инерции сечения; Sотс - статический момент отсечённой части сечения; b- ширина сечения балки, где определяется касательное напряжение.
Касательные напряжения в балке прямоугольного сечения
Рис.6.9.К выводу формулы касательных напряжений для прямоугольного сечения
Iy=
;
Sотс=b•(0,5•h-z)[(
+z]= 0,5• b•[
-z2]
=
=
;
При z=± ; =0; при z=0; =max=1,5Q/A; (6.16)
Касательные напряжения в балке круглого и кольцевого сечения
Для круглого поперечного сечения несправедлива гипотеза о том, что касательные напряжения τ параллельны поперечной силе. В круглом поперечном сечении τ направлены по касательной к концентрическим окружностям с центром в центре круга (рис.6.10). Закон распределения τ не может быть определен по формуле Журавского. Однако на уровне нейтральной оси, где все τ параллельны поперечной силе , можно по формуле Журавского определить максимальные касательные напряжения.
max=4Q/(3A); (6.!7)
61
Рис. 6.10. Касательные напряжения в круглом сечении балки при изгибе
Для трубчатого сечения max=2Q/A; (6.18)
Касательные напряжения в балке двутаврового сечения
Двутавр приближенно можно рассматривать как сечение, состоящее из трех прямоугольников (рис. 6.11). В прямоугольном сечении касательные напряжения τ распределены по параболе.
На поверхности τ=0. На нейтральной оси τ=.τmax В месте перехода от полки к стенке двутавра его ширина b уменьшается примерно в 15 раз. Соответственно во столько же раз скачкообразно увеличиваются касательные напряжения.
Рис. 6.11.Нормальные и касательные напряжения в сечении двутавровой балки от изгиба
Проверка прочности балки двутаврового сечения
При
Вычисления удобно свести в таблицу , например ( при Мmax=120кН•м, Q=113.3кН, для двутавра № 40)
62
№ точки |
z см |
b см |
Sотс см3 |
=М•z/ Iy MПа |
MПа |
MПа |
MПа |
max MПа |
1 |
20 |
15,5 |
0 |
126,8 |
0 |
126,8 |
0 |
63,4 |
2 |
18,7 |
0,8 |
377 |
118,5 |
28,2 |
124,9 |
-6,37 |
65,6 |
3 |
9,35 |
0,8 |
482 |
59,3 |
36,1 |
76,4 |
- 17,06 |
46,7 |
4 |
0 |
0,8 |
540 |
0 |
40,4 |
40,4 |
-40,4 |
40,4 |
5 |
- 9,35 |
0,8 |
482 |
-59,3 |
-36,1, |
17,06 |
-76,04 |
46,7 |
6 |
-18,7 |
0,8 |
377 |
-118,3 |
-28,2 |
6,37 |
-124,9 |
65,6 |
7 |
-20 |
15,5 |
0 |
-126,8 |
0 |
0 |
-126,8 |
63,4 |
6.4 Потенциальная энергия деформации при изгибе
Каждый элемент балки деформируется от двух факторов: от изгиба и сдвига. Полную энергию получим, как сумму U=UM+UQ
