6.2. Нормальные напряжения при чистом изгибе

Под действием изгибающего момента M в поперечных сечениях балки возникают нормальные напряжения σ, под действием поперечной силы Q- касательные напряжения τ. Чтобы упростить задачу определения напряжений, рассмотрим чистый изгиб балки.

Чистым называется изгиб, при котором в поперечных сечениях балки отсутствует поперечная сила. При постоянном моменте по длине участка должна быть постоянная кривизна.

Примем упрощающие допущения (или гипотезы):

1.Сечения плоские до деформации остаются плоскими после деформации, лишь поворачиваются.

2.Продольные волокна не давят друг на друга.

3,Напряжения, в сечении балки на одном уровне по высоте, одинаковы по величине и направлению. При чистом изгибе в любом сечении балки усилия сводятся к паре сил, плоскость действия совпадает с вертикальной осью балки. Напряжения при чистом изгибе могут быть определены по следующим соображениям:

1.Касательные напряжения в сечении балки не могут быть приведены к паре сил. Изгибающий момент может восприниматься только нормальными напряжениями.

2. Чтобы создать момент, равный внутреннему усилию, необходимо иметь нормальные растягивающие и сжимающие напряжения. На границе изменения направления нормальных напряжений ( сжимающих на растягивающие), а сам слой получил название «нейтрального».3. На участке балки с чистым изгибом все сечения имеют одинаковое напряженное состояние, т.к. М=const 4.Нормальные напряжения в сечении _xK0; _y=_z=0.

57

Рис.6.5.Примеры нагрузок, вызывающих чистый изгиб

Рис.6.6. Выделенный из балки элемент

Вырежем из балки элемент длиной dx и рассмотрим его деформацию (рис..6.7).и рассмотрим изменения при деформации.

Рис.6.7. Выделенный из балки элемент dx a-до деформации, b-деформации

Линии m-m и n-n при изгибе займут новое положение, оставаясь плоскими и образуют угол dв точке О.

Волокно АВ, О1 расположенное на расстоянии z от нейтральной линии превратиться в дугу A’ B’.

58

Отрезок

О1- О2 не изменит своей первоначальной длины.

До деформации

(6.6)

После деформации

A’B’= (+z) d;

Абсолютное удлинение

= A’B’-=(+z) d- d=z d;

Относительное удлинение

= ;( 6.7)

Следуя закону Гука= E ( 6.8)

Из (6.6) следует, что нормальные напряжения по высоте балки распределяются по линейному закону.

M= ;

; ( 6.9)

где EI –жесткость балки .

Из выражения ( 6.6)

= (6.10)

Наибольшее значение растягивающего и сжимающего напряжений будет в точках сечения наиболее удалённых от нейтрального слоя.

Проведём статический анализ задачи, рассмотрим еще два условия эквивалентности

(6.12)

Так как при изгибе нет продольных усилий, то N=0. Подставим выражение (6.10) в (6.12)

59

N= =0; Sy=0; (6.13)

Статический момент равен нулю. Нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. Можно показать, что центробежный момент так же равен нулю. Это означает принадлежность ортогональных осей Y и Z к главным осям этого сечения.

Условие прочности в сопротивлении материалов имеет вид

max O[]p или R p; min O[]c или Rc; (6.14)

В частном случае симметричного сечения относительно нейтрального слоя, h₁= h₂= ;

Wy= (6.15)

Для балки прямоугольного сечения

Wy= = (6.16)