6. Плоский поперечный изгиб балок

Изгибом, называется деформация, в процессе которой продольная ось бруса изменяет кривизну. Стержень (прямолинейный брус), работающий на изгиб, называется балкой.

Продольную ось балки (упругую линию) балки представляют в виде линии, соединяющей центры тяжести поперечных сечений. Изгиб бывает плоским и пространственным. При плоском изгибе упругая линия балки «плоская» кривая, при пространственном изгибе « пространственная» кривая.

В этой главе рассмотрим лишь плоский поперечный изгиб. Поперечным называется изгиб балки, вызванный силами, действующими в вертикальной плоскости. При плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях балки под действием внешних (поперечных) сил возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q, и изгибающий момент M, которые определяются методом сечений. Обязательным условием поперечного изгиба является симметричное сечение балки относительно плоскости изгиба. Объёмные нагрузки приводятся к погонным или сосредоточенным (в виде равнодействующих сил).

6.1 Типы балок и опорные реакции, внутренние усилия

Рис.6.1.Типы однопролётных балок: а-с одним жестко закреплённым концом; б-левая опора шарнирно

неподвижная, правая шарнирно подвижная (качающаяся или катковая); в и г- балки с

10

консолями

Расстояние между опорами наз. пролётом. При количестве трёх опор наз. двухпролётная. При большом количестве пролётов - многопролётная. Для определения опорных реакций используются уравнения статики.

SX=0; SZ=0; SM=0. (6.1)

В балках, показанных на рис.6.1,б-г, опорные реакции можно определить с помощью уравнений моментов относительно точек А и В(SM_А=0; SM_В=0;), т.к. в эти уравнения входят только одна неизвестная реакция. Уравнение SZ=0 рекомендуется использовать для проверки правильности найденных реакций V_А и V_B. Сумма проекций вертикальных реакций (V_А + V_B.) должна равняться сумме вертикальных проекций нагрузок.

Балки, опорные реакции которых можно определить с помощью уравнений статики, называют статически определимыми.

Внутренние усилия от изгиба определяют используя метод сечений.

Встречаются типы балок состоящие из двух стержней соединенных шарниром.

Рис.6.2.Балка с промежуточным шарниром

54

В такой балке появляется четвёртое неизвестное усилие – поперечная сила в шарнире. Однако, система не

становится статически неопределимой, т.к. в шарнире момент равен нулю и можно использовать дополнительное уравнение SM_С=0. Сумма моментов всех сил справа и слева от шарнира равна нулю.

6.2 Внутренние усилия. Дифференциальные зависимости между Мy. Qz и q(x)

Рассмотрим плоский поперечный изгиб, при котором все силы лежат в одной плоскости и перпендикулярны продольной оси балки. В этом случае в поперечных сечениях действуют поперечная сила Q и изгибающий момент М .

Продольное усилие N = 0. Возможно действие сосредоточенных и распределенных нагрузок Согласно приведенному правилу определения внутренних усилий при плоском поперечном изгибе:

поперечная сила равняется сумме сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения;

изгибающий момент равен сумме моментов всех сил расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения относительно центра тяжести сечения

Рис.6.3. Правило знаков для внутренних усилий

В реальных конструкциях нет сил и моментов, действующих в точке. Каждая сила действует на каком-то участке тела, как правило, малом по сравнению с размерами тела и, поэтому в расчетах заменяется сосредоточенной силой или парой сил, действующей в точке. При кручении распределенные моменты используются в расчетах крайне редко.

Если с подсчетом суммы сил, расположенных по одну сторону от выбранного сечения, все ясно, то подсчет суммы моментов требует дополнительных пояснений. Практика работы со студентами показывает, что больше всего ошибок студенты делают при определении изгибающих моментов в сечениях балки, поэтому нужно повторить правило определения момента силы, известное из курсов физики и теоретической механики.

Правило

Для плоской задачи:

Момент силы относительно какой-либо оси равен произведению силы на плечо.

Плечо – перпендикуляр, опущенный от оси на линию действия силы.

Математически внутренние усилия при изгибе можно описать следующим образом:

,

где сумма длин предыдущих участков.

Между q(х), Q и М имеются очень важные дифференциальные зависимости см. рис.6.4.

55

Рис.6.4. К выводу дифференциальных зависимостей q(x), Q и М

Выделим из балки малый элемент длиной dx. Отбросим левую и правую части балки и заменим их действие внутренними усилиями. Все усилия положительного направления. Под действием этих сил элемент находится в равновесии.

Составим для элемента два уравнения равновесия:

Z=0; -Q+q(x)dx+(Q+dQ)=0;

M₁=0; Qdx+My– – (M_y+dM_y) = 0;

Из первого уравнения после преобразования dQ+q dx=0; =–q (6.2)

Из второго уравнения пренебрегая , как величиной второго порядка малости, найдём:

=Q ; = -q (6.3)

1.Производная от Q равна интенсивности сплошной нагрузки , взятой с обратным знаком.

2.Производная от изгибающего момента равна поперечной силе в том же сечении.

Полученные выражения имеют применение при построении и контроле эпюр внутренних усилий:

a) Если dM/dx0, т.е. Q положительно, то момент возрастает

dM/dx0, т.е. Q отрицательно, то момент убывает

dM/dx=0, Q=0 момент в этом сечении имеет экстремум (max или min)

если на участке Q=0, то имеет место чистый изгиб и М=const.

б)На участке, где q=0, поперечная сила постоянна по значению.

в)На участке, где равномерно распределённая нагрузка q=const эпюра Q имеет характер наклонной

линии, а эпюра М -квадратная порабола.

г) Если вторая производная d²M/dx²0 , то интенсивность сплошной нагрузки направлена вниз «+».

Эти же соотношения могут быть использованы для вычисления приращений поперечных сил и моментов на участках. – dx+Q₀ (6.4)

где Q­₀ ^– величина поперечной силы в начале участка при х=0;

Mx= (6.5)

где изгибающего момента в начале участка.

56

Алгоритм определения внутренних усилий в балках.

1. Определение опорных реакций.

2. Разметка по длине балки характерных участков (намечаются граничные точки участков, где появляются новые нагрузки или закрепления)

3. Определяются значения Q и М в характерных точках, на границах участков.

4. По полученным значениям строятся эпюры Q и M .