4.2.1. Моменты инерции простейших фигур

В этом разделе получим формулы для моментов инерции относительно собственных центральных осей простейших фигур: прямоугольника, круга, треугольника.

Прямоугольник Пусть y и z – оси симметрии прямоугольного сечения. Выберем в сечении (рис. 4.2) элементарную площадку dA с координатами z. Площадь dA=b⋅dz.

Рис.4.5. Определение моментов инерции прямоугольного сечения

Осевой момент инерции относительно оси y

I_y= = dz = =bh³/12; (4.7)

Т.к. у и z –оси симметрии, то центробежный момент инерции I_zy=0

Круг и кольцо.Для круга диаметром d вычисления упрощается, если использовать круговую симметрию. Возьмем в качестве элементарной площадки бесконечно тонкое кольцо с радиусом ρ и толщиной d (рис.4.4.). Его площадь dA=2πd. Тогда полярный момент инерции

38

Рис. 4.4. К определению моментов инерции круга Ввиду круговой симметрии осевые моменты инерции относительно любой центральной оси одинаковы.

J_y=J_z= ≈0,05d⁴. (4.8)

Момент инерции кольца находим как разность моментов инерции двух кругов c диаметрами большщго круга–D и малого–d:

J _кол= J_D–J_d= – =0,05 D⁴(1–⁴) (4.9)

где =d/D. J_p =2Iy=2 (1–⁴)= (1–⁴) =0,1 D⁴(1–⁴) (4.10)

Момент инерции треугольника. Найдем момент инерции треугольника относительно центральной оси Y₀, параллельной основанию (рис. 4.5). Выделим элементарную площадку параллельную основанию. Сначала определим момент инерции, относительно оси Y, проходящей через основание рис.4.5

Рис.4.5.Осевые моменты инерции для треугольного сечения

J_y = = bh³/12; (4.11)

Для вычисления осевого момента инерции, относительно оси y₀ , проходящей через центр тяжести используем формулу при параллельном переносе

I_yo= I_y- A(h/3)²= ; (4.12)

39

Центробежный момент инерции для прямоугольного треугольника приводится без вывода.

J_zy = ± (4.13)

Правило знаков: если гипотенуза имеет тенденцию к возрастанию слева–направо то знак «+». Тоже относится к ориентации уголкового прокатного профиля.