7. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости и их интегрирование для простейшего случая

X,y,z-сост массовой силы

P=f(x,y,z)- одинак давл исходя из со гидростат давления

 

Разделим эти уравнения на массу   параллелепипеда и перейдем к пределу, устремляя  ,  и  .,  к нулю, т. е. стягивая параллелепипед к исходной точкеМ.  Тогда в пределе получим уравнения равновесия жидкости, отнесенные к точке М:

 

 уравнениями Эйлера .

Трехчлен, заключенный в скобках, представляет собой полный дифференциал давления, т. е. функции  , поэтому предыдущее уравнение можно переписать в виде:

 или,

          

Полученное уравнение выражает приращение давления dp при изменении координат на  ,  и  ., в общем случае равновесия жидкости.

Если предположить, что на жидкость действует только сила тяжести, и направить ось z вертикально вверх, то X=Y=O, Z=g и, следовательно, вместо уравнения (2.7) для этого част­ного случая равновесия жидкости получим

  

После интегрирования будем иметь

Постоянную интегрирования найдем, подставив параметры свободной поверхности, для которой при z = z₀  p = р₀

Получим

.

При этом

8. Абсолютное и избыточное давление.

Абсолютным называется давление, определённое с учетом атмосферного давления. Превышение абсолютного давления над атмосферным давлением называется избыточным давлением. Т.о. избыточное давление показывает насколько отличается давление в точке измерения от атмосферного.

.

Таким образом, возможны два случая:

1 Случай: Величина абсолютного давления больше атмосферного давления.

➨

Такое положительное избыточное давление называют манометрическим.

Манометрическое давление показывает насколько давление в точке измерения больше атмосферного.

2 случай: Величина абсолютного давления меньше атмосферного давления.

➨

Такое отрицательное избыточное давление называют вакуумметрическим (величиной вакуума).

Вакуумметрическое давление показывает насколько давление в точке измерения меньше атмосферного.

9 Пьезометрическая высота. Вакуум. Измерение давления

.

где  — абсолютное давление в жидкости на уровне присоединения пьезометра;  — атмосферное давление.

Отсюда высота подъема жидкости в пьезометре

)

где р_изб — избыточное давление на уровне присоединения пьезометра.

Часто Давление в жидкостях или газах численно выражают в виде соответствующей этому давлению пьезометрической высоты по формуле (2.9). Если абсолютное давление в жидкости или газе меньше атмосферного, то говорят, что имеет место разрежение, или вакуум. За величину разрежения, или вакуума, принимается недостаток до атмосферного давления:

 или 

(вакуумметр)

10. Основное уравнение гидростатики Потенциальная, удельная энергия жидкости.

Сократив все члены уравнения на dS, получим:

Давление во всех точках свободной поверхности одинаково и равно р0, следова­тельно, давление во всех точках жидкости на глубине h также одинаково согласно основ­ному уравнения гидростатики. Поверхность, давление на которой одинаково, называется поверхностью уровня. В данном случае поверхности уровня являются горизонтальными плоскостями.

Выберем некоторую горизонтальную плоскость сравнения, проходящую на расстоя­нии z0 от свободной поверхности, тогда можно записать уравнение гидростатики в виде:

Все члены уравнения имеют линейную размерность и носят название:

-  геометричкская высота,

 -  пьезометрическая высота

Величина носит название гидростатического напора.

12 Сила давления жидкости на плоские и кривые поверхности

Выразим сначала элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке  :

где  — давление на свободной поверхности;  — глубина расположения пло­щадки  .

Для определения полной силы   проинтегрируем полученное выражение по всей площади  :

где  — координата площадки  .

Следовательно,

( здесь — глубина расположения центра тяжести площади S. ),

или

 

те полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление  в центре тяжести этой площади.

Кривая поверхность

1) жидкость расположена сверху    

2) жидкость расположена снизу            

В первом случае выделим объем жидкости, ограниченный рассматриваемой поверхностью АВ, вертикальными поверхностями, проведенными через границы этого участка, и свободной поверхностью жидкости, т. е. объем ABCD, и рассмотрим условия его равновесия в вертикальном и горизонтальном направлениях.

Условие равновесия объема ABCD в вертикальном направлении имеет вид

F_B = p₀S_Г + G

где   — давление на свободной поверхности жидкости; S_Г — площадь горизонтальной проекции поверхности АВ; G — вес выделенного объема жидкости.

Условие равновесия того же объема в горизонтальном направле­нии запишем

F_Г=S_Bρgh_C+p₀S_B

Определив по формулам (1.31) и (1.32) вертикальную и горизонтальную составляющие полной силы давления  F, найдем