Вывод уравнения

Наиболее известны два способа получения уравнения: традиционный вывод самого Ван-дер-Ваальса и вывод методами статистической физики.

Традиционный вывод

Рассмотрим сначала газ, в котором частицы не взаимодействуют друг с другом, такой газ удовлетворяет уравнению состояния идеального газа:

Далее предположим, что частицы данного газа являются упругими сферами одинакового радиуса r. Так как газ находится в сосуде конечного объёма, то пространство, где могут перемещаться частицы, будет несколько меньше. В исходной формуле следует вычесть из всего объёма некую его часть b, которая, вообще говоря, зависит только от вещества, из которого состоит газ. Таким образом, получается следующее уравнение:

Стоит заметить, что вычитаемый объём b не будет в точности равен суммарному объёму всех частиц. Если частицы считать твёрдыми и абсолютно упругими шариками, то вычитаемый объём будет примерно в четыре раза больше. Это легко объясняется тем, что центры упругих шаров не могут приближаться на расстояние ближе .

Далее Ван-дер-Ваальс рассматривает силы притяжения между частицами газа и делает следующие допущения:

• Частицы распределёнными равномерно по всему объёму.

• Силы притяжения стенок сосуда не учитываются, что в общем случае неверно.

• Частицы, находящиеся внутри сосуда и непосредственно у стенок, ощущают притяжение по-разному: внутри сосуда действующие силы притяжения других частиц компенсируют друг друга.

Таким образом, для частиц внутри сосуда силы притяжения не учитываются. А частицы, находящиеся непосредственно у края сосуда, затягиваются внутрь силой, пропорциональной концентрации:

.

Число частиц, которые находятся непосредственно у стенок, в свою очередь тоже предполагается пропорциональным концентрации n. Можно считать, что давление на стенки сосуда меньше на некоторую величину, обратно пропорциональную квадрату объёма:

Окончательное уравнение:

Приведённые параметры определяются как отношения

Если подставить в уравнение Ван-дер-Ваальса получится приведённое уравнение состояния.

Стоит отметить, что если вещества обладают двумя одинаковыми приведёнными параметрами из трёх, то и третьи приведённые параметры у них совпадают.

Цикл Карно с протеканием процессов против часовой стрелки называется обратным. Это цикл холодильных машин и тепловых насосов.

В отличие от цикла двигателя, где окружающая среда выступает в качестве холодного источника теплоты, в цикле Карно холодильной машины окружающая среда является горячим источником теплоты.

В холодильной установке осуществляется обратный цикл Карно, в котором рабочее тело забирает теплоту q₂ от охлаждаемого тела с температурой Т_Х и отдает теплоту q₁ в окружающую среду с температурой Т_ОС > T_Х. Для осуществления передачи теплоты от холодного тела к теплому затрачивается работа l_t, которая преобразуясь в теплоту q₁=l_t+q₂, вместе с q₂ передается окружающей среде. При заданных температурах охлаждаемого тела и окружающей среды обратный цикл Карно будет самым экономичным. Его холодильный коэффициент определяется только температурами T_ОС и T_х, и рассчитывается как

В тепловом насосе тоже осуществляется обратный цикл Карно, но в этом цикле окружающая среда выступает в роли холодного источника теплоты. При работе теплового насоса даровая теплота внешней среды (т.е. отсутствует сжигание топлива и т.п.) q₂ за счет совершения работы l_t передается потребителю теплоты с температурой Т_ТП>Т_ОС, при этом работа l_t преобразуется в теплоту и общее количество теплоты, полученное потребителем, будет представлено величиной q₁=l_t+q₂. Коэффициент преобразования теплоты, характеризующий эффективность цикла Карно теплового насоса, определяется только температурами Т_ОС и Т_ТП, и расчитывается как

Холодильный коэффициент (9.10) и коэффициент преобразования теплоты (9.11) в циклах Карно при заданной температуре окружающей среды Т_ОС возрастают при увеличении Т_Х и уменьшении Т_ТП.

Обратимые циклы Карно холодильной машины и теплового насоса при постоянных температурах источников теплоты Т_ОС и T_Х или Т_ОС и Т_ТП имеют наибольшую экономичность по сравнению с другими циклами, имеющими такие же источники теплоты.

Анализируя обратный цикл Карно, можно привести следующие формулировки второго закона термодинамики:

Передать теплоту от холодного тела к горячему возможно только при затрате работы или другого компенсационного процесса;

Самопроизвольный переход теплоты от холодного тела к горячему невозможен.

Осуществить на практике обратимый цикл Карно невозможно, поскольку в природе не существует обратимых процессов, но он является эталоном экономичности, к которому должны стремиться реальные циклы с изотермическими источниками теплоты. Поскольку большинство реальных циклов имеют источники теплоты с переменной температурой, то для получения эталонного цикла Карно при таких источниках теплоты пользуются понятием среднетермодинамической температуры, используя его можно представить любой процесс подвода и отвода теплоты в виде изотерм (см. раздел 9.1.2).

Цикл Ренкина — термодинамический цикл преобразования тепла в работу с помощью водяного пара.