• Решение однородных и сводящихся к ним уравнений

№1.

cos 3x + sin 3x = 0. Решение. sin 3x = - cos 3x. Так как значения x, при которых cos 3x=0, не являются корнями данного уравнения, то разделив обе части исходного уравнения на cos 3x, получим уравнение, равносильное исходному: = - , или tg 3x = - 1. Отсюда 3x = - + n; x = - + n, n Z.

Ответ: - + n (n Z).

№ 2.

6 sin² x – sin x cos x – cos² x = 3. Решение. 6 sin² x – sin x cos x – cos² x – 3 (sin² x + cos² x) = 0. После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем 3sin²x - sin x cos x – 4 cos² x = 0. Так как значения x = + n не являются корнями уравнения и cos x ≠ 0, то разделим обе части на cos² x: 3 tg² x – tg x – 4 = 0, tg x = - 1, x = - + n; tg x = 4/3, x = arctg (4/3) + k, n,k Z.

Ответ: - + n, arctg (4/3) + k, (n, k Z).

№3.

5^x=43^{x .} Разделив обе части на 43^x и решив его, получим: x=0.

Ответ: 0.

Вывод.

Однородные показательные уравнения первой степени a ^f(x) =b ^f(x) сводятся к решению уравнения f(x) =0.

№4.

_,  однородное уравнение второй степени относительно и . разделим обе части уравнения на _: ; , …

Ответ: ½

№5.

+2 4 = 0

Решение. ОДЗ данного уравнения x 0. x= –корень уравнения =0 не является корнем данного уравнения, то данное уравнение можно разделить на Сделав замену: = у получим уравнение: у³⁺ у²+2у-4=0, корнем которого является только у=1. Сделав замену: = у, получим = . Получим: x³+2x²+x-4=0/

Решив последнее уравнение, получим x=1. x=1-удовлетворяет ОДЗ уравнения x 0.

Ответ. x=1.

• Нестандартные уравнения.

Рассмотрим некоторые встречающиеся примеры уравнений, решение которых требует эрудицию.

• метод логарифмирования.

№1.

3^2log4 ^x+2=16x^2. Решение. Область определения x >0. Прологарифмируем обе части по основанию 4. . Используя свойства логарифмов, получим

Отметим, что x = 1/4- удовлетворяет области допустимых значений переменной x.

Ответ x = ¼

№2.

Решение. Область определения уравнения х > 0. Так как при х > 0 обе части уравнения положительны, а функция y = log₃ t монотонна, то

(1 + log₃ x) log₃ x = 2.

Замена: t = log₃ x, tÎ R. Тогда: (1 + t) t = 2, t ² + t – 2 = 0, t₁ = –2, t₂ = 1. Далее найдем x: log₃ x = –2 или log₃ x = 1: находим x = 1/9 или х = 3, где корни удовлетворяют одз.

Ответ. х = 1/9; х = 3.

При решении уравнения методом логарифмирования нельзя применять, если хотя бы одна из частей уравнения отрицательна, равна нулю или является суммой (разностью) выражений.

• Функционально-графический метод.

• _{Использование монотонности функций} и в уравнении _.

П усть множество М есть общая часть (пересечение) областей существования функций f(x) и g(х) и пусть для любого х є М справедливы неравенства f(x)≥А и g(х)≤А, где А – некоторое число. Тогда уравнение f(x) = g(х) равносильно системе уравнений f(x)=А

g(х)=А. №3.

2^x=3-x. Решение. 2^x=3-x. Рассмотрим функции: . Функция возрастает на R, а функция убывает на R. Значит, уравнение 2^x=3-x не может иметь на Rболее одного корня

1.Построим графики функций и .

2.Найдем точки пересечения графиков функций: .

Как видим, графики данных функций пересекаются в одной точке (1;2). Значит, x=1.

Ответ: x=1

№4

_. Разделим обе части уравнения на _{. Получим:} .

Функция убывающая (как сумма двух убывающих функций), а функция - постоянная. Уравнение не может иметь более одного корня. Можно догадаться, что _x=1.

Ответ: 1