• Классификация уравнений.

Характеризуя уравнение, нужно учитывать разные стороны этого понятия. Уравнение представляет собой некоторую запись, составленную по определенным правилам (синтаксический подход). Заменяя в записи буквы (переменные) конкретными числами, переходят к верным или неверным равенствам (логический подход). Выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения, задают функции, значения которых связаны знаком "=" (функциональный подход). Действия над уравнениями производятся по некоторым правилам (операционный подход). Задание "решить уравнение" предполагает отыскание всех его корней (целевой подход).

Классификация уравнений тесно связана с конкретными функциями, изучаемыми в школьном курсе математики. В соответствии с этим в школьном курсе алгебры выделяются определенные виды уравнений:

С уравнениями иррациональными, тригонометрическими, показательными, логарифмическими мы уже знакомы. [2]

Трансцендентное уравнение—это уравнение вида f(x)= g(x), где функции  f  и  g  являются  аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.

• sin х = 1 — х.

• 3^2log4 ^x+2=16x^2.

• cosx = x

• logx = x − 5

• 2^x = logx + x⁵ + 40

Как видим, эти уравнения содержат и логарифмические, и показательные, и тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции. В большой советской энциклопедии такие уравнения называются трансцендентными. Часто встречаются случаи, когда в обеих частях уравнения находятся функции различной классификации. Например, слева тригонометрическая, а справа –логарифмическая. Эти функции могут быть и сложными функциями. При их решении используют методы математического анализа.

При решении уравнения, применяя какую-либо формулу, нужно следить за тем, чтобы области допустимых значений левой и правой частей формулы были одинаковыми.

Обычно, при решении уравнений опираются в основном на шесть теорем о равносильности. [4]

Получим, уравнение, равносильное данному, если:

• переносить какой–либо член уравнения из одной части в другую с противоположным знаком;

• обе части уравнения возвести в нечетную степень;

• обе части уравнения f(x)=g(x) умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля выражение h(x), которое имеет смысл в области определения (ОДЗ) данного уравнения. Общие методы решения уравнений;

• после возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, если обе части уравнения f(x)=g(x) неотрицательны в области допустимых значений уравнения;

• после логарифмирования обеих частей уравнения по основанию a, где a и a , если обе части уравнения f(x)=g(x) положительны в области определения уравнения;

• показательное уравнение a ^f(x)=b ^g(x)равносильно уравнению f(x)=g(x). [1]

Учитывая теоремы равносильности, при решении уравнений любых видов, в сновном, можно применить следующие общие идеи, общие методы:

• Виды уравнений

Рассмотрим иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические и трансцендентные уравнения. Для решения любого из перечисленных уравнений (если оно не простое) нужно выбрать метод.

Например, если даны уравнения 6 sin² x – sin x cos x – cos² x = 3; -2 -3=0 _{, то с первого взгляда, определить метод их решения нелегко.}

Уравнения можно классифицировать как:

• Сводящиеся к квадратным.

• Однородные уравнения.

• Нестандартные уравнения.

К каждому виду применим визуально-логический подход. Можно заметить, что, например, уравнения, сводящиеся к квадратным, имеют вид: .

Тогда, сводящиеся к квадратным,:

• показательные уравнения: ,

• логарифмические уравнения:

• тригонометрические уравнения: А + В + C=0

• иррациональные уравнения: А + В +С=0

• обратные тригонометрические уравнения:

А +В +С=0. [4]

Примеры.

1. _;

_;

2. + -2=0;

3sin²x – 5sin x – 2 = 0;

3. -2 -3=0 ;

lg ² x – lg x – 6 = 0;

4. x+ 5 - 6=0;

5. arccos²x – arccos x + =0;

arctq²(3x + 2) + 2 arctq (3x + 2)=0

arcsin ² x – arcsinх + = 0.

Отметим, методы решения уравнений, сводящихся к квадратным.

Методы решения уравнений, сводящихся к квадратным
Внешний вид	(ax4+bx2+c=0-биквадратное уравнение)	Уравнения с переменной в знаменателе =0	Рациональное уравнение где и -дробные выражения
метод	метод введения новой переменной: 1-замена f(x)=t 2-решить at2+bt+c=0 3-решить f(x)= t 4-учитывать одз		1.Найти общий знаменатель дробей. 2.Решить полученное уравнение. 3.Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.