20. Вычет функции относительно простого полюса и полюса порядка m.

Вычетом функции f(z) в изолированной точке z=a называется интеграл

(66)

где C - замкнутый контур, содержащий одну особую точку z=a

Из определений вычета следует, что если z=a - правильная точка функции f(z), то . Если точка z=a является полюсом, то удобно рассмотреть отдельные случаи:

-полюс первого порядка:

(68)

так как в случае полюса первого порядка функция может быть представлена в виде , причем z=a - ноль первого порядка функции , то

(69)

-полюс порядка m:

(70)

Вычетом функции f(z) в точке z=∞ называется интеграл

(71)

причем во внешней части контура C функция f(z) не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от z=0.

20. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов.

Пусть функция f(z) регулярна в области D, за исключением конечного числа точек z_k принадлежит D, к = 1, … ,n непрерывна вплоть до границы , за исключением тех же точек. Граница области D предполагается состояoей из конечного числа кусочно гладких ограниченных контуров. Тогда

где граница обходится в положительном направлении (т. е. при движении по границе в направлении интегрирования область D остается слева).

20. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов.

Пусть функция f(z) регулярна в области D, за исключением конечного числа точек z_k принадлежит D, к = 1, … ,n непрерывна вплоть до границы , за исключением тех же точек. Граница области D предполагается состояoей из конечного числа кусочно гладких ограниченных контуров. Тогда

где граница обходится в положительном направлении (т. е. при движении по границе в направлении интегрирования область D остается слева).

20. Интегральное преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа - интегральное преобразование, связывающее функцию F(p) комплексного переменного (изображение) с функцией f(x) действительного переменного (оригинал).

Преобразованием Лапласа от функции f(x) (оригинала) называется функция:

f(x) называют оригиналом преобразования Лапласа, а F(p) - изображением преобразования Лапласа. f(x) и F(p) однозначно определяются друг относительно друга, тоесть если Вы знаете f(x), то всегда можете узнать F(p), и наоборот, если знаете F(p), то всегда можете получить f(x).

20. Оригиналы и изображения.

20. Свойства преобразования Лапласа, теоремы линейности, теорема дифференцируемости оригинала.

Тот факт, что F(p) есть изображение f (t), будем символически записывать так:

1. Линейность. Для любых комплексных постоянных a и b

(здесь и далее считать f(t)=F(p), g(t)=G(p)).

2.Теорема подобия. Для любого постоянного a >0

3. Дифференцирование оригинала. Если функции f (t), fў (t) , fІ (t),…, f (n)(t) являются функциями-оригиналами и f(t)=F(p), то

где под f^(k)(0), (k= 1, 2,…, n-1) понимается .

4. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на (-t) оригинала

5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р, т. е. если f(t)=F(p), то

6. Интегрирование изображения. Если интеграл сходится, то он служит изображением функции

7.Теорема смещения. Если f(t)=F(p), то для любого комплексного р0

8.Теорема запаздывания. Если f(t)=F(p), то для любого t >0

9.Теорема единственности

Если две функции j(t) и j(t) имеют одно и то же L-изображение F(p), то эти функции тождественно равны.