1.3.4. Сигналы и их спектры

Телемеханические сигналы, передаваемые по проводным линиям и радиоканалам, представляют собой электрическую величину, изменяющуюся во времени. В последние годы начинают широко применяться оптические сигналы, передаваемые по волоконно-оптическим кабелям.

Различают сигналы непериодические и периодические. Первые являются непериодической функцией времени, в простейшем случае — это одиночные импульсы произвольной формы (рис. 1.6, а). Вторые являются периодической функцией времени и представляют собой бесконечную временную последовательность импульсов с одинаковой формой и периодом повторения Г (рис. 1.6, б).

Рис. 1.6. Непериодические импульсы произвольной формы (а) и периодические (б)

Любая периодическая функция времени F(t) может быть представлена в виде суммы ряда синусоидальных колебаний (ряда Фурье) с определенными амплитудами Аi, начальными фазами φί и частотами. Следовательно, любой периодический сигнал можно представить в виде ряда

F(t) = А₀ + А₁ sin(ωt + φ₁,) + А₂ sin(2 ωt + φ₂) +А₃ sin (З ωt + φ₃) (1.11)

где А₀ — постоянная составляющая (амплитуда

нулевой гармоники);

А₁, А₂, А₃ — амплитуда соответственно

гармоник 1, 2, 3;

ω = 2 πf— угловая частота первой гармоники;

f = 1/Т - частота первой гармоники, Гц;

Т— период повторения импульсов, с,

который равен t_и t_n;

t_и — время импульса.

Н

Рис. 1.7. Разложение прямоугольных импульсов на гармонические составляющие: а — последовательность прямоугольных импульсов; б — гармонические составляющие; в — синтезированная последовательность импульсов

а рис. 1.7 представлен результат разложения прямоугольных импульсов (рис. 1.7, а) на гармонические составляющие (рис. 1.7, б). Амплитуды гармоник по мере возрастания частоты (номера) снижаются и обращаются в нуль у тех, номера которых кратны отношению — Т/ t_и (при t_n ≤ t_и) или Т/ t_n (при t_и ≤ t_n ). При t_и = t_n — Т/ t_и = 2, и гармоники, номера которых кратны 2 (четные), обращаются в нуль.

По этой причине на рис. 1.7, б отсутствуют четные гармоники. На рис. 1.7, в показана последовательность, полученная в результате сложения нулевой А₀, первой a₁, третьей а₃ и пятой а₅ гармоник. Кривая наглядно показывает, что чем больше гармоник суммируется, тем ближе синтезированная последовательность F₁ (t) совпадает с исходной F{t) (см. рис. 1.7, а). Чтобы при передаче сигнала, состоящего из последовательности прямоугольных импульсов, не произошло искажений, нужно передать по каналу весь бесконечный ряд гармоник (1.11). Практически осуществить это невозможно, так как потребовался бы канал с бесконечной полосой пропускания. Обычно допустимы некоторые искажения формы сигнала, что позволит ограничиться передачей конечного числа гармонических составляющих.

Амплитуды гармонических составляющих графически представляются в координатах и / в виде отдельных спектральных линий (где к — номер гармоники). Совокупность амплитуд А^ гармонических составляющих представляет собой спектр амплитуд, который называют линейчатым, так как он состоит из отдельных спектральных линий.

На рис. 1.8 приведены спектры амплитуд последовательностей прямоугольных импульсов одинаковой амплитуды и длительности, но с различными периодами Т. Амплитуды гармоник с частотами кратными 1/ t_и — обращаются в нуль. Номер первой гармоники с нулевой амплитудой Т/ t_и (или Т/ t_n ), а ее частота 1/Т •Т/ t_и= 1/ t_и.

Если нет специальных оговорок относительно величины искажения импульсов при передаче, то достаточно ограничиться передачей только тех гармоник, частоты которых лежат между началом координат и частотой первой гармоники из числа тех, амплитуды которых равны нулю (первый «лепесток» спектра).

В этом случае ширина спектра сигнала или необходимая для передачи полоса канала связи определяется выражением:

(1,12)

Рис. 1.8. Спектры амплитуд последовательностей импульсов одинаковой длительности с различными периодами:

а — при t_и = ½ Т; б— при t_и = ⅓Т; в— при t_и = 1/6 Т; г— при t_и = ⅓Т t_n;

Из приведенных формул видно, что полоса пропускания канала связи обратно пропорциональна длительности наиболее короткого элемента сигнала (импульса или паузы).

Непериодические сигналы можно рассматривать как периодические с периодом повторения равным бесконечности. Из приведенных на рис. 1.8 спектров видно, что при увеличении периода Т, частотное расстояние между спектральными линиями уменьшается, а количество линий увеличивается. Нетрудно представить, что при увеличении периода до бесконечности, спектральные линии сближаются настолько, что сливаются между собой, а их число увеличивается до бесконечности на любом конечном интервале частот. В этом случае нет необходимости говорить об отдельных гармонических составляющих сигнала, и поэтому вводят понятие спектральной плотности S(f) как функции частоты. График спектральной плотности одиночного прямоугольного импульса (рис. 1.9, а, б) показывает, что огибающая кривая обращается в нуль при частотах к/ t_и , где к= 1, 2, 3 и т.д.

Рис. 1.9. График спектральной плотности одиночного прямоугольного импульса:

а — прямоугольный импульс; б — график спектральной плотности

Для передачи сигнала используют предельно малую ширину спектра, но такую, чтобы в ней была сосредоточена основная энергия сигнала. Из рис. 1.9, б видно, что наибольшая энергия сигнала сосредоточена в пределах первого «лепестка» спектра. Отсюда необходимая для передачи полоса канала связи определяется выражением

Δf = 1/ t_и, которое (1.13)

совпадает с выражением (1.12) для последовательности прямоугольных импульсов.