2.7. Кручение. Закон Гука при кручении.

Кручение – деформация, при которой в любом поперечном сечении возникает только крутящий момент (стержни, работающие на кручение, называют валами; обычно валы бывают круглого или кольцевого сечения).

В поперечном сечении действуют непрерывно распределённые внутренние касательные силы. Подвергая кручению резиновый стержень круглого сечения, на котором нанесена сетка из продольных прямых линий и поперечных окружностей мы увидим: ось кручения остаётся прямолинейной; диаметры поперечных сечений и расстояния между ними не изменяются; образующие превращаются в винтовые линии (прямоугольники на боковой поверхности превращаются в параллелограммы) – τ ≠ 0 в продольных и поперечных сечениях; т.к. σ = 0, а τ ≠ 0 – у нас чистый сдвиг; углы поворота поперечных сечений прямо пропорциональны расстоянию от закреплённого сечения.

Угол φ поворота концевого сечения называется полным углом закручивания цилиндра. Угол закручивания стержня единичной длины φ₀ = φ/l называют относительным углом закручивания (φ₀ = const).

При закручивании сдвиг aa' = r φ; bb' = ρφ; r = oa; ρ = ob.

Относительный сдвиг γ_ρ = ρφ₀.

По закону Гука для сдвига τ_ρ = γ_ρG = ρφ₀G

При ρ = 0 τ₀ = 0, а при ρ = r τ = τ_max= Grφ₀ у поверхности (на наибольшем удалении от оси кручения). Касательные напряжения при кручении прямо пропорциональны расстоянию точек сечения от оси dQ = τ_ρdF,

следовательно М_к = ∫ dQρ = ∫ τ_ρdFρ = ∫ Gρτ₀dFρ =Gφ₀ ∫ ρ²dF = Gφ₀I_ρ,

где I_ρ = ∫ ρ²dF – полярный момент инерции вала. Это позволяет записать

φ₀ =М_к/GI_ρ и φ = φ₀l = M_кl/GI_ρ; GI_ρ – называют жёсткостью при кручении.

Т.к. τ_ρ = Gφ₀ρ, a φ₀ = M_k/GI_ρ выразим τ_ρ = М_кρ/I_ρ и τ_мах = М_кr/I_ρ = M_k/W_ρ, где W_ρ = I_ρ/r называют моментом сопротивления кручению.

2.8. Изгиб, поперечная сила, напряжения при изгибе.

Чистый изгиб прямого бруса – деформация, при которой в любом поперечном сечении действует только изгибающий момент. На практике это произойдёт, если к прямому брусу в плоскости, проходящей через ось, приложить две равные по величине и противоположные по знаку пары сил.

Рассмотрим брус с одной плоскостью симметрии и совпадающую с ней плоскость действия нагрузок. Деформация произойдёт в плоскости действия внешних сил. Представим балку как множество волокон параллельных оси. Легко проделать опыт с призматическим резиновым брусом прямоугольного поперечного сечения и нанесённой сеткой продольных и поперечных прямых линий:

В результате деформирования увидим:

1. Поперечные прямые остаются прямыми.

2. Продольные прямые и ось искривляются.

3. Сечения бруса расширяются в поперечном направлении на вогнутой стороне и сузятся на выпуклой (в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия, неравномерно распределённые по сечению. Эта неравномерность искривляет волокна). Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью симметрии – нейтральная ось (σ = 0).

Наряду с внешними активными силами силы реакции связей определяют внутренние силы.

При решении задач балку принято изображать одной линией – осью и к ней прикладывать активные и реактивные силы; рассмотрим два случая:

1. К балке приложены 2 равные и противоположные по знаку пары сил. Вводя сечение 1-1 необходимо отметить, что для равновесия каждой части необходим изгибающий момент – результирующий момент внутренних сил, действующих в поперечном сечении нормально к оси. Для левой и правой части относительно сечения внутренний момент имеет противоположное направление.

2. К балке приложены активные и реактивные силы – перпендикулярно оси. Проводя сечение для равновесия балки приходится вводить изгибающие моменты и поперечные силы (что эквивалентно появлению касательных напряжений за счёт поперечных сил; для левой и правой касательные силы противоположного направления), т.е. при таком рассмотрении вводятся М_и и Q. В этом случае изгиб называется поперечным. Проведение сечений в разных местах будет сопровождаться изгибающими моментами и поперечными силами, которые будут иметь неодинаковые значения.

Для балки, находящейся в равновесии, при плоской системе сил алгебраическая сумма моментов всех активных и реактивных сил по отношению к любой точке равна нулю (иначе говоря: сумма моментов внешних сил, действующих левее сечения, равна сумме моментов всех внешних сил, действующих правее сечения).

Для той же балки при равновесии сумма внешних сил левее сечения должна численно равняться сумме сил правее сечения (если силы перпендикулярны оси).

Поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения.

Знаки определяют так: если внешняя сила изгибает балку выпуклостью вниз – М_и > 0 и наоборот; если сумма внешних сил левее сечения имеет равнодействующую, направленную вверх, она > 0 и наоборот. Для сил, лежащих правее сечения, наоборот.

Для определения поперечных сил Q и распределенных нагрузок (по длине) q используют теорему Журавского. Для чего изображают балку и все, приложенные к ней, нагрузки (активные, реактивные, распределённые, моменты); проводят сечение с произвольной координатой z; для него подсчитывают алгебраическую сумму моментов.

M_u = R_a z + m – P₁ (z – a) + q (z-b)²/2

Теорема Журавского: поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по продольной координате; вторая производная от изгибающего момента (или первая от поперечной силы) равна интенсивности распределённой нагрузки.

dM_u/dz = R_a – P₁ + q(z – b) = Q – поперечная сила и d²M_u/dz² = dQ/dz = q.

По результатам расчётов строят эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, по которым легко определить опасное сечение балки и значения в нём поперечной силы и изгибающего момента.

Эпюры строят двумя способами:

1. Составляют формулы поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка Q = f₁(z) и М_и = f₂(z) и по формулам строят кривые.

2. Эпюры строят по характерным точкам и значениям Q и М_и по границам участка.

Правила: положительные силы и моменты откладывают вверх; в месте приложения сосредоточенной силы поперечная сила изменяется скачком на величину модуля силы;

в месте приложения момента (пары сил) М_и также меняется скачком на величину момента пары;

правильность построения проверяют с помощью теоремы Журавского (т.к. dM_и/dz = Q = tgα при α = 0 Q = 0, М_и = const (или экстремум) – чистый изгиб. При 0 < α < 90⁰ – имеем Q > 0 и М_и возрастает; при 90⁰ < α < 180⁰ Q < 0 и М_и убывает;

где нет распределённой нагрузки эпюра М_и – наклонная прямая, эпюра Q – прямая параллельная оси (ось всегда должна идти слева - направо);

при наличии распределённой нагрузки эпюра М_и – парабола, а эпюра Q – наклонная прямая;

на конце балки М_и = 0, если нет приложения внешней пары;

если балка консольная – начало координат удобно брать на конце консоли, а в месте заделки Q = R и М_и равен реактивному моменту.

П ри чистом изгибе существуют только нормальные напряжения растяжения и сжатия.

Рассмотрим их распределение по поперечному сечению, для чего выделим участок dS между сечениями АВ и СД (радиус кривизны для нейтрального сечения ρ). Волокно mn на nn^{`</sup> удлинится; из-за малости выделенные участки примем за треугольники (они подобны - их соответственные стороны параллельны), т.е. nn<sup>`}/dS = y/ρ, но nn/dS = ε, следовательно σ = Еε = Еу/ρ, т.е. нормальные напряжения σ = F(y) - распределены по высоте.

В ыделим в сечении участок площадью dF, на которой σ = const и запишем условия равновесия:

∑Z = ∫dN = 0; ∑M_x = -m + ∫ydN = 0;

подробно ∫σdF = ∫EydF/ρ = (E/ρ)∫ydF = 0, т.к. Е ≠ 0 и ρ ≠ 0, то ∫ydF = 0, а это статический момент сечения (его равенство нулю означает – ось нейтральная проходит через центр тяжести поперечного сечения).

m+∫ydN = 0 даёт m = M_и = ∫ydN = ∫yσdF= ∫(E/ρ)y²dF = (E/ρ)∫y²dF, интеграл – момент I_ρ – момент инерции, т.е. М_и = ЕI/ρ, откуда ρ = ЕI/M_и = const (ось изогнутой балки – дуга окружности).

В итоге: ρ = ЕУ/М_и ; σ = ЕУ/ρ = М_и У/I; σ_max = M_и У_мах /I = M_и /W, где W = I/Y_max - осевой момент сопротивления изгибу.

При расчётах на прочность при изгибе максимальное нормальное напряжение в опасном сечении на должно превышать допускаемое

σ_мах = М_{и мах} /W ≤ [σ].

В общем случае в поперечных сечениях возникают и поперечные силы, и изгибающие моменты. Изгибающие моменты рождают продольные напряжения, а поперечные силы создают касательные напряжения (по закону парности касательных напряжений они возникают в поперечных и продольных сечениях). Рассмотрим балку с поперечным сечением bh, выделим малый параллелепипед bdz(h/2 – y)

В сечении 1 действует изгибающий момент М_и и нормальная сила N₁, в сечении 11 М_и + dM_и и N₂

N₁ = ∫σ_z dF = (M_и /I)∫ydF; N₂ = ∫σ₁dF = ((M_и + dM_и )/I)∫ydF.

В поперечных сечениях τ ║Q и распределены равномерно по сечению и в силу парности касательных напряжений в продольном сечении возникает сила касательная продольному сечению dT = τbdz.

Для выделенного объёма 11^'2^'2, который внутри материала находится в равновесии, записываем условия равновесия:

∑Z = 0 = N₁ +dT – N₂ , что даёт dT = N₂ – N₁ = (dMи/I)∫ydF = (dMи/I)S или τbdZ = (dM_и/I)S; т.е.

τ = (dM_и /dZ) (S/Ib = QS/Ib)

касательное напряжение в поперечном сечении балки равно частному отделению произведения поперечной силы и статического момента отнросительно нейтральной оси части сечения, лежащего выше рассматриваемого слоя волокон, на произведение момента инерции всего сечения относительно нейтральной оси и ширины рассматриваемого слоя волокон.

Для прямоугольного сечения, подставляя S и I, получим

τ = QS/Ib = 6Q/bh³(h²/4 – y²)

касательное напряжение неравномерно распределено по высоте в сечении балки (у поверхности равно нулю, а на оси достигает максимума).