2.5. Плоское нагружение. Обобщённый закон Гука.

Рассмотрим образец с одноосным нагружением σ₁ = N/F и проведём наклонное сечение АВ, расположенное под углом α (угол отсчитываем против часовой стрелки). При поперечном сечении образца F, наклонное сечение равно F_α = F/cosα и в нём действуют нормальное σ_α и касательное τ_α напряжения. Для нижней части образца запишем условия равновесия (для сил перпендикулярных к АВ и касательных).

σ_α F_α – (σ₁ F)cosα = 0 даст σ_α = σ₁ cos²α;

τ_α F_α – (σ₁F)sinα = 0 даст τ_α = (σ₁sin2α)/2 после подстановки вместо F = F_α cosα.

При α = 0 σ_α = σ₁ и τ_α = 0, т.е. поперечное сечение является главной площадкой, а σ₁- главное напряжение.

П ри α = 90⁰ σ_α = τ_α = 0 – в продольных сечениях нет вообще напряжений.

При α = 45⁰ σ_α = τ_α = σ₁/2 растяжение сопровождается появлением линий Людерса – Чернова.

Для сечения перпендикулярного АВ угол будет 90⁰ + α и наши формулы дадут σ_α+90 = σ₁sin²α и τ_{α+ 90} = - (σ₁sin2α)/2; получим суммируя σ_α + σ_α+90 = σ₁; τ_α = - τ_α+90 (во взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения одинаковы и направлены либо оба к ребру – при сжатии; либо от ребра – при растяжении ; можно говорить о законе парности касательных напряжений).

При плоском (двухосном) нагружении - наличии двух нормальных напряжений (по граням действуют только нормальные напряжения) получим:

σ _α = σ₁cos²α + σ₂cos²(90 – α) = σ₁cos²α +σ₂sin²α;

τ_α = (σ₁sin2α)/2 + (σ₂sin2(90 – α))/2 = (σ₁- σ₂)sin2α/2.

При α = 45⁰ касательное напряжение максимально и равно τ_max = (σ₁ – σ₂)/2.

Частные случаи: σ₁ = σ₂ = σ даст σ_α = σ и τ_α = 0; при σ₁ = σ и σ₂ = - σ имеем чистый сдвиг (α = 45⁰ даёт σ_α= 0 и τ_α = σ; α = 135⁰ даёт σ_α = 0 и τ_α = σ).

Определим деформации в направлении главных напряжений σ₁ и σ₂, применяя закон Гука, и учитывая связь продольных и поперечных деформаций через коэффициент Пуассона μ (коэффициент продольных и поперечных деформаций). Кроме того, воспользуемся принципом независимости действия сил. По вертикали (вдоль направления силы первой) растяжение ε₁₁ = σ₁/Е от σ₁ и ε₂₁ = -μσ₁/Е (сужение в поперечном направлении – вдоль направления второй силы от действия первой); аналогично, растяжение ε₂₂ = σ₂/Е от σ₂ и ε₁₂ = -μσ₂/Е – сужение в вертикальном направлении от действия σ₂.

Суммируем деформации по каждому направлению:

получим ε₁ = ε₁₁ + ε₁₂ = σ₁/Е – μσ₂/Е; ε₂ = ε₂₂ + ε₂₁ = σ₂/Е – μσ₁/Е.

Эти формулы носят название обобщённого закона Гука для плоского напряженного состояния. По деформациям можно определить напряжения:

σ₁ = Е(ε₁ + με₂)/(1 – μ²) и σ₂ = Е(ε₂ + με₁)/(1 – μ²).

2.6. Сдвиг. Модуль упругости второго рода. Закон Гука при сдвиге.

Чистый сдвиг – деформация, возникающая при наличии на гранях образца только касательных напряжений. Площадки, по которым действуют только касательные напряжения, называют площадками чистого сдвига. При чистом сдвиге одно главное напряжение - растягивающее, другое – сжимающее; они равны по величине; главные площадки наклонены под 45⁰ к площадкам чистого сдвига. Рассмотрим прямоугольный брус АВСД и п риложим к нему касательные напряжения τ. Брус в сечении примет форму параллелограмма А’B’C’D’, сдвиг грани ВС характеризует относительный сдвиг γ – угол сдвига (угловая деформация). BB’ называют абсолютным сдвигом. Угол γ не зависит от высоты бруса H.

Гуком установлено: до определённых пределов нагружения угол сдвига γ прямо пропорционален касательному напряжению τ, т.е.

γ = τ/G

(сравним с формулой закона Гука при растяжении ε = σ/Е).

Можно записать и иначе: τ = γ G при сдвиге (при растяжении σ = ε Е).

Продолжая аналогию, назвали G – модулем упругости второго рода (модуль сдвига). Он характеризует жёсткость материала – способность материала сопротивляться деформации сдвига. Объёмная деформация равна нулю, связь продольной и поперечной определяется коэффициентом Пуассона μ = ε'/ε, а с учётом направления ε' = - με. Между Е и G (модулем продольной упругости и модулем сдвига) существует зависимость

G = E/2(1 + μ)